京都大学NLPDEセミナー

2019年度のセミナーの記録

4 月 12 日: 林雅行氏（京都大学）　　Masayuki Hayashi (Kyoto University)

● 2019 年 4 月 12 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 林雅行氏（京都大学数理解析研究所）
Masayuki Hayashi (Kyoto University)
講演題目: Potential well theory for nonlinear Schrödinger equations of derivative type
講演要旨: We study nonlinear Schrödinger equations of derivative type by variational approach. The main aim of this talk is to investigate the structure of the equation from the viewpoint of solitons. We establish the mass condition for global existence by potential well theory inspired from the classical work of Payne and Sattinger (1975). The important point of our study is to clarify the connection between the mass condition and potential well generated by the solitons. We see that the effect of the momentum plays an essential role in the arguments.

● 2019 年 4 月 19 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 三浦達彦氏（京都大学大学院理学研究科）
Tatsu-Hiko Miura (Kyoto University)
講演題目: Singular limit problem for the Navier-Stokes equations in a curved thin domain
講演要旨: We consider the Navier-Stokes equations with Navier's slip boundary conditions in a 3D curved thin domain around a given closed surface. Under suitable assumptions we show that the average in the thin direction of a strong solution to the Navier-Stokes equations converges weakly in appropriate function spaces on the closed surface as the width of the thin domain tends to zero. Moreover, we characterize the weak limit as a unique weak solution to limit equations on the closed surface, which are the damped and weighted Navier-Stokes equations on a closed surface.

● 2019 年 5 月 10 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 中安淳氏（京都大学大学院理学研究科）
Atsushi Nakayasu (Kyoto University)
講演題目: Convexity preserving properties for Hamilton-Jacobi equations in geodesic spaces
講演要旨: We study convexity preserving properties for a class of time-dependent Hamilton-Jacobi equations in complete geodesic spaces. Convexity preserving properties for nonlinear evolution equations are well known in the Euclidean space. We extend the classical results for first order equations to the Busemann spaces such as a junction by using a recently developed theory of viscosity solutions on geodesic spaces. This talk is based on a joint work with Qing Liu (Fukuoka University).

● 2019 年 5 月 17 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 中村昌平氏（首都大学東京大学院理学研究科）
Shohei Nakamura (Tokyo Metropolitan University)
講演題目: 無限個の粒子に対するシュレディンガー方程式の各点収束問題
On the pointwise convergence problem to the Schrödinger equation for infinitely many particles
講演要旨: 本講演は埼玉大学の Neal Bez 先生と Seoul National University の Sanghyuk Lee 先生との共同研究に基づきます．
本講演の主題は，（シュレディンガー方程式に対する）カールソンの各点収束問題，つまりシュレディンガー方程式の自由解が時刻 0 の極限で初期状態に戻るかどうかを問う問題である．物理的にはこの問題は 1 つの（量子力学的な）粒子の振る舞いに関する問題であるが，本講演では同様の問題を無限個の粒子からなる系に対して考察したい．すなわち，無限個の粒子系が時刻 0 の極限で初期状態にもどるかどうか，という問題を考える．

● 2019 年 5 月 31 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 佐野めぐみ氏（広島大学大学院工学研究科）
Megumi Sano (Hiroshima University)
講演題目: A limiting case of Hardy type inequalities via extrapolation
講演要旨: The classical Hardy inequality holds in Sobolev spaces $W_0^{1,p}$ when $1 \le p < N$. In the limiting case where $p=N$, it is known that by adding a logarithmic function to the Hardy potential, some Hardy type inequality which is called the critical Hardy inequality holds in $W_0^{1,N}$. In this talk, in order to find a reason why the logarithmic function appears at the potential, we derive the logarithmic function from the form of the classical Hardy inequalities with the best constants by a suitable limiting procedure as $p \nearrow N$ via extrapolation. And we also discuss the second order case which is called the Rellich inequality. This is a joint work with Prof. Sobukawa (Waseda University).

● 2019 年 6 月 7 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 中井拳吾氏（東京大学大学院数理科学研究科）
Kengo Nakai (University of Tokyo)
講演題目: Numerical study of Energy Functions for a 3D fluid flow
講演要旨: 本講演では，3 次元流体のエネルギー関数に関して，以下の 2 つの研究を紹介する．
(1) 機械学習; カオス的なふるまいを示す流体運動のマクロ変数に関する時間発展方程式を流体の基礎方程式である Navier-Stokes 方程式から解析的に導出することは困難なことが知られている．本研究では，機械学習手法を用いて，エネルギー関数の時系列データの学習により，それを支配する時間発展方程式を構成した．
(2) 流体方程式の直接数値計算; 空間 3 次元乱流にみられるエネルギーカスケード（エネルギーが低周波から高周波へ遷移する現象）のメカニズムをさぐるため，Navier-Stokes 方程式を高周波では高次ラプラシアン，低周波では非粘性に変更した方程式について考察した．この変更のもとで計算した Navier-Stokes 方程式の各波数でのエネルギー保有量は通常の Navier-Stokes 方程式の場合と類似していることが確認された．
尚，(1) 機械学習については齊木吉隆氏（一橋大学）との共同研究，(2) 流体方程式の直接数値計算については，岸本展氏（京都大学），齊木吉隆氏，米田剛氏（東京大学）との共同研究に基づく．

● 2019 年 6 月 14 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 岩渕司氏（東北大学）
Tsukasa Iwabuchi (Tohoku University)
講演題目: Self-similar solutions for compressible Navier-Stokes equations
講演要旨: 圧縮性 Navier-Stokes 方程式に対する自己相似解の存在について考察する．特に球対称性を課した場合の特殊解を構成することが目的である．非真空の場合および原点においてのみ真空が許される場合に対して解が得られることを報告する．本講演は P. Germain 氏（New York 大学）との共同研究に基づく．
We study self-similar solutions for compressible Navier-Stokes equations. We focus on radially symmetric case. We will construct solutions in the non-vacuum case and in the vacuum case at the origin. This talk is based on a joint work with P. Germain (New York University).

● 2019 年 6 月 21 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 浜向直氏（北海道大学大学院理学研究院）
Nao Hamamuki (Hokkaido University)
講演題目: A comparison principle for viscosity solutions of a boundary value problem without the normal derivative
講演要旨: 退化放物型方程式の初期値・境界値問題の粘性解に対する比較定理を考える．特に，動的境界値問題の漸近問題として自然に現れる，未知関数の時間微分がゼロに等しいという「定常的境界条件」を典型例として考え，その一般化に相当する，領域境界での法線微分を含まない境界条件を扱う．境界上での適当な解の連続性の仮定の下，畳み込みによる正則化を用いて比較定理を示す．また，定常的境界条件が斉次ディリクレ境界条件とは異なる一意解を与える例や，動的境界値問題との関係などにも言及したい．

● 2019 年 6 月 28 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 瀬片純市氏（九州大学大学院数理学研究院）
Jun-ichi Segata (Kyushu University)
講演題目: Asymptotic behavior in time of solutions to complex valued nonlinear Klein-Gordon equation
講演要旨: 本講演では，空間 1 次元の場合に gauge 不変な 3 次の非線形項をもつ Klein-Gordon 方程式の小さな解の長時間挙動について考える．この方程式の解は，時刻無限大で線形 Klein-Gordon 方程式の解に散乱しないことが知られている．未知関数が実数値の場合に Delort (2001) は解の時刻無限大での漸近形を捉えた．その後，未知関数が複素数値の場合に砂川氏 (2005) により解の減衰評価が得られた．本講演では，未知関数が複素数値の場合に解の時刻無限大での漸近形が得られたのでその結果を紹介したい．時間があれば空間 2 次元の場合についても触れたい．

● 2019 年 7 月 12 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 小杉卓裕氏（福岡工業大学工学部）
Takahiro Kosugi (Fukuoka Institute of Technology)
講演題目: Rate of convergence of approximate solutions to obstacle problems for quasilinear operators
講演要旨: ペナルティ法によって得られる障害物問題の近似解の収束率を考える． 2010 年に L.C. Evans はハミルトン・ヤコビ方程式に対して非線形随伴法を導入し，その応用の一つとして近似解の収束率を求めた．ここで非線形随伴法とは，完全非線形方程式に対する近似方程式の線形化方程式のグリーン函数を用いた解の評価法を指す．自由境界問題の一種である障害物問題はしばしばペナルティ法により近似方程式が立てられる．本講演では障害物問題に非線形随伴法を適用し近似解を得ることを目的とする．例としてグラフの平均曲率流方程式や $p$-ラプラス方程式（$p\geq2$）に現れる作用素に対する障害物問題を挙げる．本講演の内容は小池茂昭教授（早稲田大学）および内藤誠氏との共同研究に基づく．

● 2019 年 7 月 19 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 隠居良行氏（東京工業大学理学院数学系）
Yoshiyuki Kagei (Tokyo Institute of Technology)
講演題目: Hopf bifurcation for artificial compressible systems
講演要旨: Hopf bifurcation problem for artificial compressible systems is considered. The artificial compressible system is obtained by adding the time derivative of the pressure with a small parameter (the artificial Mach number) to the continuity equation of the incompressible Navier-Stokes system. It is shown that if a Hopf bifurcation occurs in the incompressible Navier-Stokes system then so does in the artificial compressible system with small artificial Mach numbers. Convergence of bifurcating solutions as the artificial Mach number goes to zero is also studied for a thermal convection problem. This talk is based on a joint work with Prof. C.-H. Hsia (National Taiwan Univ.), Prof. T. Nishida (Kyoto Univ.) and Dr. Y. Teramoto (Tokyo Tech.).

● 2019 年 10 月 4 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 大石健太氏（名古屋大学大学院多元数理科学研究科）
Kenta Oishi (Nagoya University)
講演題目: On the R-boundedness for the generalized Stokes resolvent problem in an infinite layer with Neumann boundary condition
講演要旨: 本講演では，上面下面共に Neumann 境界条件を伴う層状領域上での一般化 Stokes レゾルベント問題に対する R-有界性を示す．この結果は，上面を Neumann 境界条件，下面を Dirichlet 境界条件とする場合には示されているが，本講演で扱う境界条件では示されていなかった． R-有界性の応用として，上面下面を共に自由境界とした層状領域上で，非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の自由境界問題における局所可解性が得られる．

● 2019 年 10 月 11 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 鈴木政尋氏（名古屋工業大学）
Masahiro Suzuki (Nagoya Institute of Technology)
講演題目: Derivation of the ion equation
講演要旨: We consider the classical Euler-Poisson system for electrons and ions, interacting through an electrostatic field. The mass ratio of an electron and an ion is small and we establish an asymptotic expansion of solutions, where the main term is obtained from a solution to a self-consistent equation involving only the ion variables. Moreover, the validity of such an expansion is established even with "ill-prepared" Cauchy data, by including an additional initial layer correction. This talk is based on a joint work with Professors E. Grenier (ENS de Lyon), Y. Guo (Brown Univ.), and B. Pausader (Brown Univ.).

● 2019 年 10 月 18 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 猪奥倫左氏（東北大学大学院理学研究科）
Norisuke Ioku (Tohoku University)
講演題目: Solvability of a semilinear heat equation via a quasi scale invariance
講演要旨: 一般の非線形項を持つ半線型熱方程式の可解性について考察する．べき乗非線形項の場合には，方程式が持つスケール不変構造を用いた可解性の分類（いわゆる藤田-加藤の原理）が Weissler によって為されている．本発表では一般の増大度を持つ非線形項に対して擬スケール不変性を導入し，そこから定まる可積分条件から局所解の存在・非存在が分類できることを示す．また，初期値に擬スケール不変な積分量の小ささを仮定すると解は時間大域的に存在することについても述べる．本発表は藤嶋陽平氏（静岡大学）との共同研究に基づく．

● 2019 年 10 月 25 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 可香谷隆氏（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
Takashi Kagaya (Kyushu University)
講演題目: 接触角条件付き表面拡散に対する進行波解の非一意性と非凸性について
Existence of non-convex traveling waves for surface diffusion with contact angle condition
講演要旨: 本講演では，x 軸上に 2 つの端点を持ち，その端点において異なる接触角を生成する曲線に対する表面拡散を考察する．上記の自由境界値問題は，曲線に対するある汎関数の形式的な H^{-1} 勾配流として導出できる．この変分構造は，同様の接触角条件を課した面積保存型曲率流でも現れるため，解の漸近挙動も類似した構造を持つことが期待される．面積保存型曲率流では，進行波解が安定性を持つことが知られているため，本講演では，表面拡散に対する進行波解の存在性，及びその形状を解析する．尚，本講演の内容は神戸大学の高坂良史氏との共同研究に基づく．

● 2019 年 11 月 1 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 若杉勇太氏（広島大学大学院工学研究科）
Yuta Wakasugi (Hiroshima University)
講演題目: Asymptotic behavior of solutions to the wave equation with space-dependent damping and slowly decaying data
講演要旨: We consider the initial-boundary value problem of the wave equation with space-dependent damping in an exterior domain. We give energy estimates and asymptotic profiles of solutions with polynomially decaying initial data. The proof is based on the energy method with suitable weight functions which behave like polynomials at the spatial infinity. To construct these weight functions, we introduce suitable supersolutions for the corresponding parabolic equation by using Kummer's confluent hypergeometric functions. This talk is based on a joint work with Prof. Motohiro Sobajima(Tokyo University of Science).

● 2019 年 11 月 8 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 舘山翔太氏（早稲田大学理工学術院）
Shota Tateyama (Waseda University)
講演題目: Hölder gradient estimates on $L^p$-viscosity solutions of fully nonlinear parabolic equations with VMO coefficients
講演要旨: We discuss fully nonlinear second order uniformly parabolic equations including Isaacs parabolic equations. Isaacs equations arise in the theory of stochastic differential games. In 2014, N.V. Krylov proved the existence of $L^p$-viscosity solutions of boundary value problems for equations with VMO (vanishing mean oscillation) "coefficients" when $p>n+2$. Furthermore, the solutions were in the parabolic Hölder space $C^{1+\alpha, \frac{1+\alpha}{2}}$ for $\alpha\in(0, 1)$. Our purpose is to show interior Hölder estimates on the spatial gradients of $L^p$-viscosity solutions of fully nonlinear parabolic equations under the same conditions as in Krylov's result.

● 2019 年 11 月 15 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 加藤睦也氏（群馬大学大学院理工学府）
Tomoya Kato (Gunma University)
講演題目: Boundedness of bilinear pseudo-differential operators of $S_{0,0}$-type
講演要旨: $S_{0,0}$ 型クラスに対して，その双線形擬微分作用素の $L^2 \times L^2$ から $L^r$ への有界性について考察する． $r=1$ の場合には，宮地-冨田（2013）によって双線形ヘルマンダー・クラスに対する有界性が示されている．本講演では，そのクラスよりも広いシンボルクラスに対しても同様の有界性が成り立ち，さらに，写り先の空間は $L^1$ でなくともよい，ということについて報告したい．なお，本講演は東京女子大学の宮地晶彦氏，大阪大学の冨田直人氏との共同研究に基づく．

● 2019 年 11 月 29 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 池田正弘氏（理化学研究所革新知能統合研究センター / 慶應義塾大学理工学部）
Masahiro Ikeda (RIKEN / Keio University)
講演題目: 再生核 Hilbert 空間上の Perron-Frobenius 作用素を用いた非線形力学系間の距離について
Metric on nonlinear dynamical systems with Perron-Frobenius operators on a reproducing kernel Hilbert space
講演要旨: 複数のデータ間の差異を計る計量の研究は画像認識や機械学習において長年に渡り重要な問題である．本講演では非線形力学系間の差異を計る正定値カーネルを構成する枠組みを再生核ヒルベルト空間上 Perron-Frobenius 作用素を用いて行った．本研究で定義するカーネルは正準角などを用いて定義した先行の距離やカーネルを包括するものである．また，複素平面での回転と実データを例に取り，我々の計量の有用性についても議論する．本研究は，石川勲氏（理研 / 慶大），藤井慶輔氏（名大），橋本悠香氏（NTT），河原吉伸氏（九大 / 理研）との共同研究であり，その論文は機械学習のトップ会議 NeurIPS2018 に採録された．
Development of a metric for structural data is a long-term problem in pattern recognition and machine learning. In this talk, we develop a general metric for comparing nonlinear dynamical systems that is defined with Perron-Frobenius operator in reproducing kernel Hilbert spaces. Our metric includes the existing fundamental metrics for dynamical systems, which are basically defined with principal angles between some appropriately-chosen subspaces, as its special cases. We also describe the estimation of our metric from finite data. We empirically illustrate our metric with an example of rotation dynamics in a unit disk in a complex plane, and evaluate the performance with real-world time-series data. This work is based on a joint work with I.Ishikawa(RIKEN/Keio), K.Fujii(Nagoya), Y.Hashimoto(NTT) and Y.Kawahara(Kyusyu/RIKEN) and is published in Proc. of NeurIPS 2018.

● 2019 年 12 月 6 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 星埜岳氏（東京電機大学理工学部）
Gaku Hoshino (Tokyo Denki University)
講演題目: 消散型非線形シュレディンガー方程式について
On the dissipative nonlinear Schrödinger equations
講演要旨: 消散型非線形シュレディンガー方程式の初期値問題について考える．べき型非線形項の係数が特別な条件を満たすときに初期値の適当なノルムに関してその大きさに関する条件を仮定せずに時間大域解が構成できその解は初期値の滑らかさに応じた滑らかさを持つことが示される．

● 2019 年 12 月 20 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 三竹大寿氏（東京大学）
Hiroyoshi Mitake (University of Tokyo)
講演題目: 退化粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間挙動
The large-time profile for degenerate viscous Hamilton--Jacobi equations
講演要旨: 力学系における Aubry-Mather 理論は，偏微分方程式論の粘性解理論を導入することで相互の理論がより明瞭なものとなった．この理論は，Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 理論を背景に偏微分方程式論における弱解を利用した理論ということで，弱 KAM 理論と提唱された．講演者は，最適確率制御問題に現れる退化粘性 HJ 方程式と呼ばれるクラスの方程式に適用できるよう，弱 KAM 理論の一般化に取り組んできた．従来の弱 KAM 理論は決定論的な力学系しか扱えないため，新しい道具立てを必要とした．この点を偏微分方程式論から見直すことで決定論及び確率論を統一する枠組みを作ってきた．その応用として，漸近解析（長時間挙動，ディスカウント近似）に利用した．本講演では，これらの結果について概説をして，特に最近進展した退化粘性 HJ 方程式の初期値問題の粘性解の長時間後の収束先に関する結果について紹介したい．

● 2020 年 1 月 17 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: Ngô Quốc Anh 氏（ベトナム国家大学ハノイ校 / 東京大学）
Ngô Quốc Anh (Vietnam National University, Hanoi / The University of Tokyo)
講演題目: Topics in higher order elliptic equations in the whole space
講演要旨: Higher order elliptic equations with power-type nonlinearity of the form
　$$ \Delta^m u = \pm u^\alpha $$
in an unbounded subset of $\mathbb R^n$ with $n \geq 1$, $m \geq 1$, and $\alpha \in \mathbb R$ often appear in many research works especially when $m \leq 2$ because they can be used to model many phenomena in reality and applied science. From the geometric point of view, the motivation and importance of studying solutions to these equations stem from the understanding of conformally flat manifolds as well as the well-known Yamabe problem, which can be seen from the seminal work of R. Schoen and S.T. Yau in 1988. Higher-order curvatures such as Q-curvature also constitute the above equations. Unfortunately, it becomes evident that, after putting together all the known results of the scientific literature, the knowledge on this class of equations still appears quite fragmentary even for basic information such as existence and non-existence. In this talk, first I will present a complete picture of the existence and non-existence of classical positive/non-negative solutions to the above equations in the full range of the parameters $n$, $m$, and $\alpha$. Then, in the existing regime, I will show whenever a maximum principle result is available. Next, I will focus on the fourth-order equations, namely $m=2$, and provide a complete classification of radial solutions in terms of asymptotic behavior. Then I will show how to use this classification to construct non-radial solutions. Geometric interpretation of these findings, as well as interesting questions, is also mentioned.

● 2020 年 1 月 24 日　(Fri)　15:00 ～ 17:00　【関西確率論セミナーと共催】

会場: 京都大学理学研究科 3 号館 127 大会議室
Room #127 at Science Building No.3
講演者: 岡本潤氏（東京大学）
Jun Okamoto (University of Tokyo)
講演題目: Random discretization of O'Hara knot energy
講演要旨: We considered random discrete approximation of O'Hara energy. O'Hara energy is the energy defined for a knot, and O'Hara energy was introduced for defining the standard shape for each knot class (equivalence class by ambient isotopy) by variational method. In the case of a specific exponent, due to energy invariance under Moebius transformation, this energy is called Moebius energy. Although discretization for various Moebius energies has been defined to analyse the shape of the minimizer so far, only Γ-convergence to the original energy has been shown for a conventional discretization. In this study, we are successful to show locally uniform convergence and compactness of discrete energy in a space based on optimal transport theory by introducing random discrete approximation of O'Hara energy using random variable, and we can show convergence from the minimizer to the minimizer.

● 2020 年 1 月 31 日　(Fri)　15:30 ～ 17:30

講演者: 岡本葵氏（信州大学学術研究院工学系）
Mamoru Okamoto (Shinshu University)
講演題目: Invariant Gibbs dynamics for the nonlinear wave equation with Hartree-type cubic nonlinearity in three dimensions
講演要旨: 空間 3 次元トーラスにて，Hartree 型の 3 次の非線形項を持つ非線形波動方程式を考える．エネルギーの繰り込みを行い，Gibbs 測度の台に初期値を持つ Hartree 型非線形波動方程式の解が時間大域的に存在することを示す．適切性の証明では，Gubinelli-Koch-Oh で用いられた確率非線形波動方程式に対する擬被制御（パラコントロール）解析を利用する． 3 次の非線形項では，Gubinelli-Koch-Oh の擬被制御作用素を用いて解と確率項との積を定めることは困難である．そこで，解が満たす積分方程式を考え，Duhamel 項を用いた解の書き換えを繰り返し行い，擬被制御作用素の無限回の反復合成を用いて積の意味付けを行う．なお，本講演は，Tadahiro Oh 氏 (Univ. of Edinburgh) との共同研究に基づく．

別の年度

〒606-8502 京都市左京区北白川追分町
京都大学大学院理学研究科数学教室（理学研究科 3 号館）

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