京都大学 NLPDE セミナー

2021年度のセミナーの記録

4 月 16 日
小池 開 氏 (京都大学)  Kai Koike (Kyoto University)

4 月 23 日
山崎 陽平 氏 (九州大学)  Yohei Yamazaki (Kyushu University)

4 月 30 日
浜野 大 氏 (埼玉大学)  Masaru Hamano (Saitama University)

5 月 7 日
原 宇信 氏 (北海道大学)  Takanobu Hara (Hokkaido University)

5 月 14 日
高安 亮紀 氏 (筑波大学)  Akitoshi Takayasu (University of Tsukuba)

5 月 21 日
三宅 庸仁 氏 (京都大学)  Nobuhito Miyake (Kyoto University)

5 月 28 日
清水 一慶 氏 (大阪大学)  Ikkei Shimizu (Osaka University)

6 月 4 日
高橋 仁 氏 (東京工業大学)  Jin Takahashi (Tokyo Institute of Technology)

6 月 11 日
至田 直人 氏 (大阪大学)  Naoto Shida (Osaka University)

6 月 15 日
和久井 洋司 氏 (東京理科大学)  Hiroshi Wakui (Tokyo University of Science)

7 月 2 日
水上 雅昭 氏 (京都教育大学)  Masaaki Mizukami (Kyoto University of Education)

7 月 10 日
NLPDE one day セミナー

7 月 23 日
宮本 安人 氏 (東京大学)  Yasuhito Miyamoto (University of Tokyo)

10 月 5 日
中安 淳 氏 (京都大学)  Atsushi Nakayasu (Kyoto University)

10 月 15 日
川上 翔汰 氏 (埼玉大学/慶応義塾大学/理研 JRA)  Shota Kawakami (Saitama University / Keio University / RIKEN JRA)

10 月 22 日
可香谷 隆 氏 (室蘭工業大学)  Takashi Kagaya (Muroran Institute of Technology)

10 月 29 日
勝呂 剛志 氏 (東北大学)  Takeshi Suguro (Tohoku University)

11 月 5 日
濱本 直樹 氏 (大阪府立大学)  Naoki Hamamoto (Osaka Prefecture University)

11 月 12 日
高岡 秀夫 氏 (神戸大学)  Hideo Takaoka (Kobe University)

11 月 19 日
岩渕 司 氏 (東北大学)  Tsukasa Iwabuchi (Tohoku University)

11 月 26 日
関 行宏 氏 (鳴門教育大学)  Yukihiro Seki (Naruto University of Education)

11 月 30 日
呉 忠弘 氏 (The University of Edinburgh)  Tadahiro Oh (The University of Edinburgh)

12 月 10 日
赤木 剛朗 氏 (東北大学)  Goro Akagi (Tohoku University)

12 月 17 日
石井 裕太 氏 (茨城工業高等専門学校)  Yuta Ishii (National Institute of Technology, Ibaraki College)

1 月 7 日
三竹 大寿 氏 (東京大学)  Hiroyoshi Mitake (University of Tokyo)

1 月 11 日
石毛 和弘 氏 (東京大学)  Kazuhiro Ishige (the University of Tokyo)

1 月 21 日
松井 直己 氏 (東京理科大学)  Naoki Matsui (Tokyo University of Science)

1 月 28 日
三浦 英之 氏 (東京工業大学)  Hideyuki Miura (Tokyo Institute of Technology)

3 月 14 日
NLPDE Spring セミナー


● 2021 年 4 月 16 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
小池 開 氏 (京都大学)
Kai Koike (Kyoto University)
講演題目
Refined pointwise estimates for 1D viscous compressible flow and long-time behavior of a moving point mass
講演要旨
The velocity $V(t)$ of a point mass moving in a 1D viscous compressible barotropic fluid satisfies a decay estimate $V(t)=O(t^{-3/2})$ [K. Koike, J. Differ. Equ. 271 (2021) 356--413]. In the first part of the talk, I present some numerical simulations suggesting that the estimate $V(t)=O(t^{-3/2})$ is in fact optimal. Then, in the second part, I present mathematical results that give a simple necessary and sufficient condition on the initial data for a lower bound of the form $t^{-3/2}\lesssim |V(t)|$ to hold [K. Koike, arXiv:2010.06578 (2020)]. These results are obtained as corollaries to a theorem on refined pointwise estimates for 1D viscous compressible flow. The key concept of the theorem is the introduction of "bi-diffusion waves" that, together with the well-known diffusion waves, give a precise description of long-time asymptotics of solutions.


● 2021 年 4 月 23 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
山崎 陽平 氏 (九州大学)
Yohei Yamazaki (Kyushu University)
講演題目
Center stable manifolds around line solitary waves of the Zakharov-Kuznetsov equation with critical speeds
講演要旨
KdV 方程式の進行波を円筒領域上の Zakharov-Kuznetsov 方程式の進行波とみなしたものを線状進行波という. 線状進行波はその進行速度が遅いときは KdV 方程式の進行波と同様に安定であるが,ある速度より真に進行速度が速いときは,対称性の破れ分岐により不安定となる. 進行波が不安定な時は,進行波周りの線形化作用素の実部非正のスペクトルに相当する超曲面が存在し,その超曲面上に初期値を持つ解は進行波から離れないと考えられる. このような超曲面が適当な性質を持つとき,中心安定多様体という. 進行波を定める定常方程式の解として,速度パラメータに関して,線状進行波が対称性の破れ分岐を起こしていない速度に関しては,Molinet--Pilod による双線形評価と Nakanishi--Schlag による mobile distance を用いることにより,中心安定多様体を構成できる. 本講演では,対称性の破れ分岐を起こす速度を持つ線状進行波周りの中心安定多様体の構成について紹介する. 対称性の破れ分岐を起こす速度を持つ場合は,線形化作用素の零固有値に対する固有空間の次元が上がるため,対称性の破れによって分岐した進行波のパラメータを新たに調整変数と導入する. このとき,多様体上での安定性を示すためのリャプノフ関数が退化する. このため,中心安定多様体の候補となる多様体と進行波の接触次数を用いて,誤差項が退化した主要項より高い次数になることを示す.


● 2021 年 4 月 30 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
浜野 大 氏 (埼玉大学)
Masaru Hamano (Saitama University)
講演題目
長距離型ポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の球対称基底状態下の球対称散乱解について
Radial scattering solutions below the radial ground state for nonlinear Schrödinger equation with a long range potential
講演要旨
本講演では,冪乗型ポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式 (NLS) を空間 3 次元で考える. ここで,冪乗型ポテンシャルとは $\frac{\gamma}{|x|^\mu}$ の形をしたポテンシャルを指す. $1 < \mu \leq 2$ のとき短距離型と呼ばれ,$0 < \mu \leq 1$ のとき長距離型と呼ばれる. 短距離型のとき,時間無限大で線形解が自由解に $H^1$ の意味で漸近することが水谷氏 (2020) により示された. このような状況においては,Killip--Murphy--Visan--Zheng (2017), Guo--Wang--Yao (2018) により基底状態の下側の初期値に対する (NLS) の解が線形解に漸近する(散乱する)ための必要十分条件が与えられた. 一方で長距離型のとき,時間無限大で線形解は自由解に $L^2$ の意味でも漸近しないことが知られている. このような状況では,基底状態下の初期値に対する (NLS) の解が散乱するための必要十分条件は知られていない. 本講演では,球対称基底状態((NLS) の定常問題の球対称解の中で最小エネルギーをもつ解)の下側の球対称の初期値に対する (NLS) の解が散乱するための必要十分条件を紹介する. 本講演は理化学研究所の池田正弘氏との共同研究に基づく.


● 2021 年 5 月 7 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
原 宇信 氏 (北海道大学)
Takanobu Hara (Hokkaido University)
講演題目
Quasilinear elliptic equations with sub-natural growth terms or singular nonlinearities
講演要旨
劣線形なべき乗型の非線形項をもつ楕円型方程式の正値解の存在と埋め込み定理との関係について考察する. Brezis-Kamin ('92) は有界な解の存在と係数関数の Riesz ポテンシャルの有界性が同値であることを証明した. 近年 Verbitsky らは実解析的な手法を用いて埋め込みの成立がエネルギー有限な解の存在のための必要十分条件であることを証明した. 本講演では Verbitsky らの証明の実解析的な部分をポテンシャル論的な手法でおきかえ,あらたに扱えるようになった具体例について紹介する. また非線形項のべきが負の場合の結果についても紹介する.


● 2021 年 5 月 14 日 (Fri) 15:30 〜 16:30 (オンラインセミナー)
講演者
高安 亮紀 氏 (筑波大学)
Akitoshi Takayasu (University of Tsukuba)
講演題目
Global dynamics in nonconservative nonlinear Schrödinger equations
講演要旨
本講演ではゲージ不変性が成り立たない非線形シュレディンガー方程式のあるクラスを考え,その大域的なダイナミクスを計算機援用証明した結果を紹介する. まず,定数解に近い初期条件下における解の半大域存在(時間正の方向への大域存在)を示すことで,時間正負の両方で零解に漸近する初期値の集合の存在を証明した. この結果は方程式に実解析的な保存量が存在しないことを意味する. さらに 2 次の非線形項を持つ場合,2 つの非自明な不安定平衡解の族の存在を示し,時間負の向きで非自明な平衡解に,時間正の向きで零解に漸近するヘテロクリニック軌道の存在を計算機援用証明した. 講演時には計算機援用証明の基盤技術である精度保証付き数値計算の簡単な導入から始め,今回使用した 3 つの手法「平衡解における局所的な不安定多様体の包含」,「厳密な求積法」,および「安定集合に入る解の数値検証」についても紹介する.
本講演は Jonathan Jaquette (Boston Univ.), Jean-Philippe Lessard (McGill Univ.) 各氏との共同研究に基づく.


● 2021 年 5 月 21 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
三宅 庸仁 氏 (京都大学数理解析研究所)
Nobuhito Miyake (Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University)
講演題目
Positivity of solutions to the Cauchy problem for linear and semilinear polyharmonic heat equations
講演要旨
本講演では,ある線形及び半線形高階放物型方程式に対する初期値問題の解の正値性について考察する. 二階放物型問題では,「非負である任意の初期値に対する解は時空大域的に正値となる」という正値性保存則が広く成立することが知られている. 一方で高階放物型問題の場合,正値性保存則は最も単純な重調和熱方程式に対する初期値問題においてさえ一般に成立しないことが知られている. これは,対応する基本解の正値性の崩壊に起因する.
本講演では,初期値問題の解が時空間大域的に正値関数となるための初期値に対する十分条件を与える. また,この結果を応用し,冪乗型非線形項をもつ半線形多重調和熱方程式の初期値問題に対して時間大域的な正値解を構成する. なお,本講演の内容の一部は,Hans-Christoph Grunau 氏 (University of Magdeburg) と岡部真也氏(東北大学)との共同研究に基づく.


● 2021 年 5 月 28 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
清水 一慶 氏 (大阪大学)
Ikkei Shimizu (Osaka University)
講演題目
Local well-posedness of the Landau-Lifshitz equation in almost critical Sobolev spaces
講演要旨
 本講演では幾何学的 PDE の一種である Landau-Lifshitz 方程式について考察する. Landau-Lifshitz 方程式は強磁性体の磁化の時間発展を記述する数理モデルであると同時に「Schrödinger 方程式の幾何学的一般化」としての側面を持ち,物理学・幾何学・分散型 PDE など多岐にわたる文脈との接点をもつ方程式である. この方程式に対してはある種の変換を用いることで電磁場ポテンシャル付き非線形 Schrödinger 方程式(mSM と呼ぶ)に変換され,スカラー値 NLS の枠組みで解析を行うことができる. しかしながら mSM の磁場項がもつ微分非線形性が障害となり解析が難しいという問題点がある.
 今回は空間異方性を与える物理項を持つ設定の下で,ほとんど臨界な Sobolev 空間において初期値問題が時間局所適切であることを示す. 証明の鍵となるのが解に対する Strichartz 型の平滑化評価の獲得である. 我々は mSM に対して磁場ラプラシアンのレゾルベントを用いた表示公式を新たに導出し,レゾルベントのスペクトル遠方での減衰評価を適用することで上述の評価を得た.
 本研究は S. Ibrahim 氏 (UVic), Y. Bahri 氏 (UVic) との共同研究に基づく.


● 2021 年 6 月 4 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
高橋 仁 氏 (東京工業大学)
Jin Takahashi (Tokyo Institute of Technology)
講演題目
Existence of solutions with moving singularities for a semilinear heat equation with a critical exponent
講演要旨
べき乗型の優線形な非線形項を持つ半線形熱方程式の初期値問題に対し,時間依存して動く点に特異性を保持するような非負値解(動的特異点を持つ解)を考える. 本講演では,非線形項の指数がある種の臨界である場合に動的特異点を持つ解を構成する. 後半では,主結果と解の一意性との関連や,時間全域的な特異解の存在についても述べたい.


● 2021 年 6 月 11 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
至田 直人 氏 (大阪大学大学院理学研究科)
Naoto Shida (Osaka University)
講演題目
エキゾチック・クラスにシンボルをもつ双線形擬微分作用素の有界性について
Boundedness of bilinear pseudo-differential operators with exotic symbols
講演要旨
本講演では,エキゾチック・クラスにシンボルを持つ双線形擬微分作用素について以下の 2 つの研究を紹介する. (1) ベゾフ空間における有界性: S_{0,0} 型の双線形擬微分作用素とは微分に応じて評価の変化しないシンボルを持つもののことを指す. Miyachi-Tomita (2013) によって,この型の作用素に対するルベーグ空間での有界性($L^p \times L^q$ から $L^r$ への有界性)の基本的な部分は示された. 本項目では 線形の $L^2$ 有界性に対応する状況を考え,ベゾフ空間を含む有界性について得られた結果をご紹介したい. (2) 指数の仮定の必要性:双線形擬微分作用素のルベーグ空間における有界性を考えるとき,"$1/p + 1/q = 1/r$" という条件がしばしば仮定される. これはシンボルを定数関数とした場合から自然に導かれる条件であるが,定数関数を含まないクラスを扱う場合にはこの仮定が必要か否かは非自明である. 本項目では,あるエキゾチック・クラスを考える場合にはこの仮定が必要である,ということについて報告したい. (1) は冨田直人氏(大阪大学)との共同研究,(2) は加藤睦也氏(群馬大学)との共同研究に基づく.


● 2021 年 6 月 15 日 (Tue) 15:00 〜 16:00 (オンラインセミナー)
講演者
和久井 洋司 氏 (東京理科大学)
Hiroshi Wakui (Tokyo University of Science)
講演題目
高次元における移流拡散方程式の前方自己相似解の存在について
Existence of a forward self-similar solution to a drift-diffusion equation in higher dimensions
講演要旨
本発表では,移流拡散方程式の初期値問題の前方自己相似解の存在について考察する. 空間 2 次元の場合は質量臨界な問題となる一方で,高次元の問題における自己相似解の存在は質量保存則の成立する枠組みでは期待できない. 本発表では,高次元における移流拡散方程式の有界な自己相似解の存在を示し,証明の概略を述べる. 本発表の内容は Wrocław 大学の P. Biler 氏および G. Karch 氏との共同研究に基づく.


● 2021 年 7 月 2 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
水上 雅昭 氏 (京都教育大学)
Masaaki Mizukami (Kyoto University of Education)
講演題目
Uniform-in-time convergence of solutions for a two-species chemotaxis model to those for the Lotka-Volterra competition model
講演要旨
本研究では,2 種走化性方程式と Lotka-Volterra 競合モデルの解の関係について考える. Lotka-Volterra 競合モデルは古くから研究されており,大域解の存在や解の挙動について既に様々な結果が知られている. 一方,2 種走化性方程式の研究においては,まだ一部の条件のもとでしか大域解の存在や解の挙動が得られておらず,研究があまり進展していない. 本研究の目的は,2 種走化性方程式と Lotka-Volterra 競合モデルの解の関係を考察することにより,2 種走化性方程式の新たな結果を導出することである. 本講演では,この 2 つの方程式の解の関係について得られた結果を報告する.


● 2021 年 7 月 23 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
宮本 安人 氏 (東京大学)
Yasuhito Miyamoto (University of Tokyo)
講演題目
A doubly critical semilinear heat equation in the L^1 space
講演要旨
半線形熱方程式の時間局所可解性について考える. 初期関数が有界の場合は時間局所解が存在することが知られているが,有界ではない場合は,初期関数の特異性の強さと非線形項の増大度のバランスによって決まる. 半線形熱方程式の場合は,スケール不変の空間で解が存在することが知られているが,スケール不変の空間が L^1 の場合は二重臨界と呼ばれ,状況が異なっていることが知られている. このような場合に解の存在と非存在を考える.


● 2021 年 10 月 5 日 (Tue) 15:30 〜 16:30 (オンラインセミナー)
講演者
中安 淳 氏 (京都大学)
Atsushi Nakayasu (Kyoto University)
講演題目
Homogenization of Hamilton-Jacobi equations on the Sierpinski gasket
講演要旨
本講演では典型的なフラクタルであるシェルピンスキー・ギャスケット上でその自己相似性に基づいて構成される振動発散するハミルトニアンの列に対して,ハミルトン・ヤコビ方程式の初期値問題の解の列の収束について考える. これは Lions-Papanicolaou-Varadhan の周期設定でのハミルトン・ヤコビ方程式の均質化から着想を得た,フラクタル上の均質化と呼ぶべき問題である. フラクタルで考えるにあたっては解の枠組みとして Gangbo-Swiech の距離粘性解を採用する. また実効ハミルトニアンひいては極限方程式がどうなるかが問題だが,周期設定で知られていた min-max 公式と呼ばれる下限上限型公式に基づくことで,この問題に解決の筋道をつけた. 本講演ではフラクタル上の均質化の最初の部分的な結果として,初期ハミルトニアンの連続性,強圧性,準凸性の仮定の下で距離粘性解の下半極限が極限方程式の距離粘性優解になることを示す.


● 2021 年 10 月 15 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
川上 翔汰 氏 (埼玉大学/慶応義塾大学/理研 JRA)
Shota Kawakami (Saitama University / Keio University / RIKEN JRA)
講演題目
Small data finite-time blow-up solutions for the nonlinear Schrödinger equation in general dimensions
講演要旨
The purpose of this talk is to show the existence of finite-time blow-up solution for the nonlinear Schrödinger equation in general spatial dimension which starts with the initial data as small as we like. We construct a solution of the nonlinear Schrödinger equation defined in negative global time and blows-up at positive finite time. We derive decay estimates for the solutions in the negative time direction by using interpolation inequalities in the weighted Lebesgue spaces.


● 2021 年 10 月 22 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
可香谷 隆 氏 (室蘭工業大学)
Takashi Kagaya (Muroran Institute of Technology)
講演題目
Singular Neumann boundary problem for power type curvature flow
講演要旨
本講演では,発散型ノイマン条件を課した冪型曲率流のグラフ解を考察する.
発散型ノイマン境界条件を課すことにより,その特異性は解の有界性に影響を与える. 特に,方程式に現れる曲率の冪の指数によってその影響は異なり,ある指数を境に解の有界性が異なる.
本講演では,有界で連続な初期関数から,有界性と連続性を保つ解が構成できるかを考察し,解が時間大域的に構成できる指数と,境界での瞬間的な爆発を起こし,解が構成できない指数とで分類する. また,時間大域解の漸近挙動についても解説し,平行移動を除いて一意な進行波解に収束することについても触れる.
なお,本研究は福岡大学の柳青氏との共同研究に基づくものである.


● 2021 年 10 月 29 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
勝呂 剛志 氏 (東北大学大学院理学研究科数学専攻)
Takeshi Suguro (Mathematical Institute, Tohoku University)
講演題目
高次元移流拡散方程式のある有限時間爆発解に対する凝集現象について
Concentration phenomena for a finite time blow-up solution to the drift-diffusion equation in higher dimensions
講演要旨
本講演では,高次元移流拡散方程式の初期値問題のある有限時間爆発解に対する凝集現象を考える. 空間二次元の場合は,初期値問題に対するスケール不変空間と方程式が擁する質量保存則が釣り合う臨界状態であるため,有限時間で爆発する解の質量凝集現象が示されている. 一方で,高次元においては,スケール不変性の観点より,優臨界であることが示唆され,非線形項の持つ非局所性も相まって,一般的には凝集現象の検証は困難である. ここでは,リスケールした解に対してプロファイル分解を適用することで,移流拡散方程式に付随する函数不等式の最良定数を用いた有限時間爆発解の凝集現象を示す. なお,本講演は,小川卓克氏(東北大学)と和久井洋司氏(東京理科大学)との共同研究に基づく.


● 2021 年 11 月 5 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
濱本 直樹 氏 (大阪府立大学理学系研究科)
Naoki Hamamoto (Graduate School of sciences, Osaka Prefecture University)
講演題目
制約条件付きベクトル場に対する不確定性不等式の最良定数について
Sharp constant in Uncertainty Principle inequality for constrained vector fields
講演要旨
本講演では,Heisenberg の不確定性不等式の最良定数を制約条件付きベクトル場に対して考察する.
テストベクトル場を制約しない場合の最良定数は知られているが,本講演では渦なしもしくはソレノイダル条件を課すことにより,最良定数値が既知の値からどのようにずれるのかに注目する. 新しい最良定数の計算方法は,別種の不等式である Hardy 不等式に対する方法と似ており,球面調和関数など関数系による分解によって問題を低次元化していくことが主な方針である. こういった問題への取り組みについて,近年の進展結果をいくつか紹介する.
本講演内容の一部は,高橋太教授との共同研究結果を含む. また,本研究は科研費(課題番号:21J00172)の助成を受けている.


● 2021 年 11 月 12 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
高岡 秀夫 氏 (神戸大学)
Hideo Takaoka (Kobe University)
講演題目
微分型非線形シュレディンガー方程式の解の極限挙動について
講演要旨
空間 1 次元の微分型非線形シュレディンガー方程式に対して解の極限挙動について考察する. 方程式は完全可積分系であり,逆散乱法により系統的な時間大域的なソリトン解が構成できることが知られている. エネルギー空間における時間大域解の存在は,初期値の質量ノルムやモーメントの大きさがソリトン解のそれよりも小さい場合は知られていた. 最近,Bahouri, Perelman, Harrop-Griffiths, Killip, Visan らによってエネルギー空間よりも弱いソボレフ空間において,その制約条件を排除した時間大域解の存在定理が与えられたが,ここではエネルギー空間に限り,初期値の質量ノルムの大きさがソリトン解のそれと同じ場合にプロファイル分解を用いた時間大域解の解析を紹介する.


● 2021 年 11 月 19 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
岩渕 司 氏 (東北大学)
Tsukasa Iwabuchi (Tohoku University)
講演題目
Ill-posedness for compressible Navier-Stokes equations in two space dimensions
講演要旨
本講演では,空間 2 次元における圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問題を考える. 質量保存則,運動量保存則,エネルギー保存則から成る方程式を扱い,圧力は理想気体の方程式から定まるものを考える. 負の正則性を持つ Sobolev 空間および Besov 空間において解の初期値連続依存性が成立しないことを示す. 本結果では,尺度不変性から定まる関数空間において不連続性を考察するが,空間 2 次元が特殊ケースとなっており,ほとんどすべての場合において適切性が得られないことを説明する. この講演は,小川卓克氏(東北大学)との共同研究に基づく.


● 2021 年 11 月 26 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
関 行宏 氏 (鳴門教育大学)
Yukihiro Seki (Naruto University of Education)
講演題目
Description of non-self-similar singularities in harmonic map heat flow
講演要旨
In this talk, I will present a blow-up result for harmonic map heat flow from $d$-dimensional Euclidean space to a unit sphere in S^{d}. We prove constructively the existence of asymptotically non-self-similar blow-up solutions with precise description of their local space-time profiles.


● 2021 年 11 月 30 日 (Tue) 15:30 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
呉 忠弘 氏 (The University of Edinburgh)
Tadahiro Oh (The University of Edinburgh)
講演題目
Gibbs measures, canonical stochastic quantization, and singular stochastic wave equations
講演要旨
 In this talk, I will discuss the (non-)construction of the focusing Gibbs measures and the associated dynamical problems. This study was initiated by Lebowitz, Rose, and Speer (1988) and continued by Bourgain (1994), Brydgess-Slade (1996), and Carlen-Fröhlich-Lebowitz (2016). In the one-dimensional setting, weconsider the mass-critical case, where a critical mass threshold is given by the mass of the ground state on the real line. In this case, I will show that the Gibbs measure is indeed normalizable at the optimal mass threshold, thus answering an open question posed by Lebowitz, Rose, and Speer (1988). This part of the talk is based on a joint work with Philippe Sosoe (Cornell) and Leonardo Tolomeo (Bonn).
 In the three dimensional-setting, I will first discuss the construction of the $\Phi^3_3$-measure with a cubic interaction potential. This problem turns out to be critical, exhibiting a phase transition: normalizability in the weakly nonlinear regime and non-normalizability in the strongly nonlinear regime. Then, I will discuss the dynamical problem for the canonical stochastic quantization of the $\Phi^3_3$-measure, namely, the three-dimensional stochastic damped nonlinear wave equation with a quadratic nonlinearity forced by an additive space-time white noise (= the hyperbolic $\Phi^3_3$-model). As for the local theory, I will describe the paracontrolled approach to study stochastic nonlinear wave equations, introduced in my work with Gubinelli and Koch (2018). In the globalization part, I introduce a new, conceptually simple and straightforward approach, where we directly work with the (truncated) Gibbs measure, using the variational formula and ideas from theory of optimal transport. This second part of the talk is based on a joint work with Mamoru Okamoto (Osaka), and Leonardo Tolomeo (Bonn).


● 2021 年 12 月 10 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
赤木 剛朗 氏 (東北大学理学研究科)
Goro Akagi (Graduate School of Science, Tohoku University)
講演題目
Rates of convergence to asymptotic profiles for fast diffusion
講演要旨
In this talk, we shall discuss quantitative analysis of asymptotic behaviors of (possibly sign-changing) solutions to the Cauchy-Dirichlet problem for the fast diffusion equation posed on bounded domains with Sobolev subcritical exponents. More precisely, rates of convergence to non-degenerate asymptotic profiles will be revealed via an energy method. A sharp rate of convergence to positive asymptotic profiles was recently discussed by Bonforte and Figalli (2021, CPAM) based on an entropy method. An alternative proof for their result will also be provided.


● 2021 年 12 月 17 日 (Fri) 15:30 〜 16:30 (オンラインセミナー)
講演者
石井 裕太 氏 (茨城工業高等専門学校)
Yuta Ishii (National Institute of Technology, Ibaraki College)
講演題目
Y 字グラフにおける Gierer-Meinhardt モデルのピーク解の存在と安定性について
Existence and stability of peak solutions for the Gierer-Meinhardt model on Y-shaped metric graph
講演要旨
近年,メトリックグラフと呼ばれる有限個の線分を繋ぎ合わせて構成される領域での反応拡散系の研究が活発に行われている. 本講演では,生物の形態形成に関する Gierer-Meinhardt モデルについて,非線形項に空間非一様な係数を持つモデルを考え,典型的なグラフの 1 つである Y 字グラフにおける 1 ピーク解と 2 ピーク解(ピークを持つ定常解)の存在と線形安定性に関する結果を紹介する. 特に,ピークの位置と安定性がグリーン関数で表現された領域の幾何と空間非一様な係数との相互作用によって決定されることを明らかにしたので,このことについて具体例を通じて考察する.


● 2022 年 1 月 7 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
三竹 大寿 氏 (東京大学)
Hiroyoshi Mitake (University of Tokyo)
講演題目
時間分数冪拡散方程式に対する粘性解と超関数解の同値性
On the equivalence of viscosity solutions and distributional solutions for the time-fractional diffusion equation
講演要旨
講演では,時間分数冪線形拡散方程式のディリクレ境界値問題について考える. 特に,2 つの弱解(粘性解と超関数解)の概念が一致することの一つの証明方法について説明する. 粘性解は比較原理に,超関数解は部分積分と変分原理にそれぞれ基づくもので,共に自然な古典解の拡張であるが,その同値性については全く非自明である.
証明の方針として儀我-柳-三竹 (2020) で導入した離散スキームによる近似解の収束先が二つの弱解の意味で方程式を満たすことを示す. 特に,超関数解であることを示す際に,エネルギー法における誤差評価について注意深く考察する必要がある. 本講演の結果は儀我美一氏(東京大学),佐藤翔一氏(東京大学)との共同研究に基づく.
In this talk, we consider an initial-boundary value problem for the time-fractional diffusion equation. We show the equivalence of two notions of weak solutions, viscosity solutions and distributional solutions. It is worth emphasizing that in general the notion of viscosity solutions is based on the comparison principle, while the notion of distributional solutions is based on the variational principle. Since two notions of weak solutions are introduced in totally different manners, it is highly nontrivial whether two notions are same or not.
In our approach, we use the discrete scheme for time-fractional diffusion equations which was introduced by Giga-Liu-Mitake (Asymptot. Anal. 2020). A main difficulty is in proving that the error term which comes from the approximated solution and the distributional solution converges to zero in a suitable weak sense. The idea to overcome this difficulty is to introduce an approximation of kernel in consideration of the discrete scheme. Due to the discrete scheme and kernel approximation, we can get the precise error estimate which enables us to get our main theorem.
This is a joint work with Y. Giga (U. Tokyo) and S. Sato (U. Tokyo).


● 2022 年 1 月 11 日 (Tue) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
石毛 和弘 氏 (東京大学)
Kazuhiro Ishige (the University of Tokyo)
講演題目
Concavity properties preserved by Dirichlet heat flow
講演要旨
放物型方程式の解の凹性は,Brascamp―Lieb (1976), Korevaar (1983) らの研究を契機として大きく進展した. 例えば,凸領域における Dirichlet 境界条件付き熱方程式に対して,初期関数が対数凹であるとき,その解は時間が経過しても対数凹であることが知られている. 本講演では,Paolo Salani 氏(フィレンツェ大学),高津飛鳥氏(都立大)との共同研究に基づき,冪凹性やその一般化を用いて,どのような凹性概念が Dirichlet heat flow によって保存されるのか,について述べる.


● 2022 年 1 月 21 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
松井 直己 氏 (東京理科大学理学研究科)
Naoki Matsui (Tokyo University of Science)
講演題目
Minimal-mass blow-up solutions for nonlinear Schrödinger equations with an inverse potential
講演要旨
本講演では,臨界指数の冪型非線形項と逆冪型ポテンシャル項を持つ非線形シュレディンガー方程式の最小質量爆発解について述べる. ポテンシャル項がない場合(臨界問題)に関しては pseudo-conformal transformation により臨界質量の有限時間爆発解が存在することが直ちに分かる. 一方,劣臨界質量解は時間大域的に存在して有界であることも古典的な手法で直ちに分かる. 従って,臨界問題の場合はその臨界質量爆発解が最小質量爆発解となる. 同様に,臨界問題にポテンシャル項がついた場合も劣臨界質量解は時間大域的に存在して有界であることは言える. 故に,最小質量爆発解が存在すれば臨界質量以上となり,臨界質量爆発解の存在が期待される. 本講演では,Le Coz, Martel, and Raphaël (2016) の手法を改良して臨界質量爆発解を構成する.


● 2022 年 1 月 28 日 (Fri) 16:00 〜 17:00 (オンラインセミナー)
講演者
三浦 英之 氏 (東京工業大学)
Hideyuki Miura (Tokyo Institute of Technology)
講演題目
Local regularity conditions on initial data for weak solutions to the incompressible Navier-Stokes equations
講演要旨
We consider the regularity of weak solutions to the three dimensional incompressible Navier-Stokes equations. We prove that the suitable weak solution is locally regular if a local scaled energy of the initial data is sufficiently small. As an application, it is shown that if a global weighted L^2 norm of the initial data is finite, then the weak solution is regular in a region confined by space-time hypersurfaces determined by the weight. Our result is also applied to studying energy concentration near a possible blow-up time. This talk is based on a joint work with Kyungkeun Kang (Yonsei Univ.) and Tai-Peng Tsai (Univ. British Columbia).


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