所員 -荒川 知幸-

名前 荒川 知幸 (Arakawa, Tomoyuki )
准教授
E-Mail arakawa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 表現論
紹 介
 主に無限次元代数の表現論を研究している。特にアフィンKac-Moody代数や Virasoro代数などの無限次元Lie環,さらに無限次元Lie環のある種の一般化であるW代数の 表現論について興味がある。またこれらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の 理論にも興味がある。
 W代数 は二次元 の共形場理論に起源を持つが,可積分系,量子群,モジュラー表現論,幾何学的 Langlands対応および4次元のゲージ理論などさまざまな話題とも密接に関係す る興味深い対象である。ただその構造は極めて複雑であり,そのため 未解決な問題が数多く残っている。
 W代数 の 表現論に 関して、 論文[1]では 極小冪零元に付随する(スーパー リー環に付随するものも含めた)W代数の 既約最高ウエイト表現の 指標 が(スーパー) アフィンリー環の それから 完全に 決定される事を示し、特にKac-Roan-脇本の 予想を肯定的に解決した。 論文[2]では主冪零元に付随するW代数の すべての最高ウエイト表現の既 約指標 を決定 し, 特に モジュラー 不変な表現の存在と構成に関するFrenkel-Kac-脇本の 予想を 肯定的に 解決した。 論文[3] では A型の任意の冪零元に付随するW代数の 全ての既約最高ウエイト表現の 指標 を決定した。 さらに 論文[8] では W代数 の$C_2$ 有限性条件と アフィンリー環の 表現の特異台との 関係を明らかにし、 アフィンリー環の 許容表現の 特異台に 関するFeigin-Frenkel の 予想を解決するとともにW代数 の$C_2$ 有限性条件に関するKac-脇本の予想を 肯定的に 解決した。 論文[9]では アフィンリー環の 許容表現 に 関するAdamovic-Milas の 予想を 肯定的に解決 し、この結果を用いて論文[10]では1992年のFrenkel-Kac- 脇本の仕事以来未解決に 留まっていた主冪零元に付随するW代数の極小系列表現 に付随する頂点作用素代数の有理性を証明する事に成功した。
 P. Fiebigとの共同研究である論文[5], [7] ではアフィンリー環の臨界レベルの 表現論を研究し,特に[7]ではFeigin-Frenkel予想の一部である(new) linkage principleを証明した。これらの論文では[2]の結果が本質的に用いられる。
 D.Chebotarov とF. Malikovとの共同研究[4]ではカイラルD加群のアフィン Kac-Moody代数の表現論への応用を始めた。カイラルD加群とは通常のD加群のア フィン版であり,層としては頂点代数の加群の層である。続くF. Malikovとの共 同研究[6]では[4]の理論のアフィンKac-Moody代数の指標公式への応用を行った。
  1. Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture, Duke Math. J., Vol. 130 (2005), No. 3, 435-478.
  2. Representation Theory of W-Algebras, Invent. Math., Vol. 169 (2007), no. 2, 219--320.
  3. Representation theory of W-algebras, II, Adv. Stud. Pure. Math. 61(2011), 51--90.
  4. Algebras of twisted chiral differential operators and affine localization of g-modules, Selecta mathematica, new series, vol.17, no. 1, 1-46, 2011.
  5. On the restricted Verma modules at the critical level, Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), 4683-4712.
  6. A chiral Borel-Weil-Bott theorem, Adv. Math., 229 (2012) 2908-2949.
  7. The linkage principle for restricted critical level representations of affine Kac-Moody algebras, Compos. Math., 148, 1787--1810, 2012.
  8. Associated varieties of modules over Kac-Moody algebras and C_2-cofiniteness of W-algebras, arXiv:1004.1554[math.QA].
  9. Rationality of admissible affine vertex algebras in the category $\mathcal{O}$, arXiv:1207.4857[math.QA].
  10. Rationality of W-algebras; principal nilpotent cases, arXiv:1211.7124[math.QA].