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荒川 知幸

名前 荒川 知幸 (Arakawa, Tomoyuki )

教授

E-Mail arakawa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 表現論

紹 介

 主に理論物理などに現れる無限次元代数の表現論を研究している。特にアフィンKac-Moody代数や Virasoro代数などの無限次元Lie環,その仲間である$W$代数の表現を中心に研究している。 また、 これらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の理論やその応用も研究の対象である。
頂点代数は本来物理学における二次元の共形場理論を代数的に定式化する枠組みとして導入されたが, 最近に頂点代数と高次元の場の理論との新しい関係が最近次々と明らかになり,物理学者・数学者双方にとってホットなテーマになっている。 このような最近の進展において、 最も重要な役割を果たしている代数系の一つが $W$代数である。さらに、(関連する話題だが) Gaitsgory等の仕事により急速に進展している(量子)幾何学的Langlands対応においても、 $W$代数は本質的な役割を果たすことが明らかになってきた。
一方、$W$代数に関しては 未だ多くの未解決問題が存在し、 そのことが $W$代数の応用を著しく困難にしてきた。 しかし、今世紀に入ってから、 我々が得た結果[1--4]などにより、 $W$代数の理解が格段に進んだ。 さらに 最近得た Thomas CreutzigとAndrew Linshawとの共同研究の結果[9]が加わり、 少なくとも 主冪零軌道に付随する$W$代数に関しては 応用段階に入ったと言うことができる。
一方、 (全く別の動機で行った)Anne Moreauとの共同研究[5]の結果を受け、 物理学者Beem-Rastelliは、 我々が随伴多様体と呼ぶ頂点代数の不変量が、 素粒子論における 4D/2D双対性において 四次元の$N=2$超対称性超共型場理論のヒッグス枝 として現れるという、 驚くべき関係を明らかにした。 これを受け、 [6]では川節和哉と共に擬平滑頂点代数の概念を導入し,四次元の$N=2$超対称性超共型場理論のシューア指数が保型性を持つことを示した。 文献[7]はこの辺りの進展を書いたサーベイである。
続いて、論文[10]では、 四次元理論におけるクラス$\mathcal{S}$理論に対応する頂点代数を構成しすることに成功し、 さらにBraverman-Finkelberg-中島によってその存在が証明された、Moore-立川シンプレクティック多様体との関係を明らかにした。
また、 論文[9]では、 Gaitsgoryによって予想されていた、 量子幾何学的Langlands対応の証明において本質的な役割を果たすW代数の表現の間の双対性を, Edward Frenkelとの共同研究によって確立した。

  1. Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture, Duke Math. J., Vol. 130 (2005), No. 3, 435-478.
  2. Representation Theory of W-Algebras, Invent. Math., Vol. 169 (2007), no. 2, 219--320.
  3. Rationality of W-algebras; principal nilpotent cases, Ann. Math., 182 (2015), 565-604.
  4. Rationality of admissible affine vertex algebras in the category $\mathcal{O}$, Duke Math. J, Vol.165, No.1 (2016), 67-93.
  5. (with A. Moreau) Joseph ideals and lisse minimal W-algebras, J. Inst. Math. Jussieu, 17 (2018), no. 2, 397--417.
  6. (with K. Kawasetsu) Quasi-lisse vertex algebras and modular linear different ial equations, In: V. G. Kac, V. L. Popov (eds.), Lie Groups, Geometry, and Representation Theory, A Tribute to the Life and Work of Bertram Kostant, Progr. Math., 326, 41--57, Birkhauser, 2018.
  7. Associated Varieties and Higgs Branches (A Survey), Contemp. Math. 711(2018), 37-44.
  8. (with T. Creutzig and A. Linshaw) W-algebras as coset vertex algebras, Invent. Math., published online.
  9. (with E. Frenkel) Quantum Langlands duality of representations of W-algebras, arXiv:1807.01536 [math.QA].
  10. Chiral algebras of class $\mathcal{S}$ and Moore-Tachikawa symplectic varieties, arXiv:1811.01577 [math.RT].

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)