所員 -荒川 知幸-

名前 荒川 知幸 (Arakawa, Tomoyuki )
准教授
E-Mail arakawa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 表現論
紹 介
 主に無限次元代数の表現論を研究している。特にアフィンKac-Moody代数や Virasoro代数などの無限次元Lie環,その仲間であ る W代数の 表現論について興味がある。またこれらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の 理論にも興味がある。
 これらの無限次元代数 は二次元 の共形場理論に起源を持つが,可積分系,量子群,モジュラー表現論,幾何学的 Langlands対応および4次元のゲージ理論などさまざまな話題とも密接に関係す る興味深い対象である。
 一般に表現論における基本問題は
 (1)既約表現の指標を決定すること、
 (2)``良い''表現を決定すること、
の二つに集約されると思われる。前者の問題に関しては現在では幾何学的表現論 や 関手的な 手法が 適応されることが多いが 実際の実行に関しては(特に無限次元代数の場合)困難な部分も多い。 後者の問題に関しては特に標準的な手法は存在せず、「何が良い表現か」という問題も含めて試行錯誤の状況で ある。
 (1)の問題に関して, 論文[1]では 極小冪零元に付随する(スーパー)W代数の 既約最高ウエイト表現の 指標 が(スーパー)アフィンリー環のそれから完全に 決定される事を示し、特に2003年のKac-Roan-脇本の 予想を肯定的に解決した。 論文[2]では主冪零元に付随するW代数の すべての最高ウエイト表現の既 約指標 を決定 し, 特に モジュラー 不変な表現の存在と構成に関する1992年のFrenkel-Kac-脇本の 予想を 肯定的に 解決した。 論文[3] では A型の任意の冪零元に付随するW代数の 全ての既約最高ウエイト表現の 指標 を決定した。 論文[4,5]ではカイラルD加群のアフィン Kac-Moody代数の表現論への応用を行い、 アフィンKac-Moody代数の臨界レベルにおける G可積分な表現の指標公式の導出を行った。 論文[6]では アフィンリー環の臨界レベルの表現の指標に関する Feigin-Frenkel予想の一部である(new) linkage principleを証明した。
 (2)の 問題に関して、 論文[7] では W代数 の$C_2$ 有限性条件と アフィンリー環の 表現の特異台との 関係を明らかにし、 アフィンリー環の 許容表現の 特異台に 関するFeigin-Frenkel の 予想を解決するとともにW代数 の$C_2$ 有限性条件に関する2008年のKac-脇本の予想を 肯定的に 解決した。 論文[9]ではアフィンリー環の許容表現に関する1995年のAdamovic-Milasの予想を 肯定的に解決した。 また論文[10]では 主冪零元に付随するW代数 の有理性に関する 1992年のFrenkel-Kac-脇本の予想を証明する事に成功した。
  1. Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture, Duke Math. J., Vol. 130 (2005), No. 3, 435-478.
  2. Representation Theory of W-Algebras, Invent. Math., Vol. 169 (2007), no. 2, 219--320.
  3. Representation theory of W-algebras, II, Adv. Stud. Pure. Math. 61(2011), 51--90.
  4. Algebras of twisted chiral differential operators and affine localization of g-modules, Selecta mathematica, new series, vol.17, no. 1, 1-46, 2011.
  5. (with F. Malikov) A chiral Borel-Weil-Bott theorem, Adv. Math., 229 (2012) 2908-2949.
  6. (with P. Fiebig) The linkage principle for restricted critical level representations of affine Kac-Moody algebras, Compos. Math., 148, 1787--1810, 2012.
  7. Associated varieties of modules over Kac-Moody algebras and C_2-cofiniteness of W-algebras, arXiv:1004.1554[math.QA].
  8. (with T. Kuwabara and F. Malikov) Localization of affine W-algebras, arXiv:1112.0089 [math.AG], to appear in Comm. Math. Phys.
  9. Rationality of admissible affine vertex algebras in the category $\mathcal{O}$, arXiv:1207.4857[math.QA].
  10. Rationality of W-algebras; principal nilpotent cases, arXiv:1211.7124[math.QA].