京都大学数理解析研究所

紹 介

　主に無限次元代数の表現論を研究している。特にアフィンKac-Moody代数や Virasoro代数などの無限次元Lie環，さらに無限次元Lie環のある種の一般化である$W$代数の 表現論について興味がある。またこれらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の 理論にも興味がある。
　論文[1], [2], [3], [9], [10]は$W$代数の表現論に関する研究である。$W$代数は二次元 の共形場理論に起源を持つが，可積分系，量子群，モジュラー表現論，幾何学的 Langlands対応および４次元のゲージ理論などさまざまな話題とも密接に関係す る興味深い対象である。ただその構造は極めて複雑であり，そのため 未解決な問題が数多く残っている。$W$代数の定義にはいくつかの方法があるが，カイ ラルハミルトニアン構成法によるものが最も見通しが良い。これらの論文ではカ イラルハミルトニアン構成法の手法により その表現論を研究した。特に極小冪零元や主冪零元に付随する $W$代数，あるいは$A$型の任意の冪零元に付随する$W$代数の 任意の最高ウエイト表現の既 約指標がこれらの論文によって決定された。 頂点代数には [9]はこれらの結果の応用を目指すと同時に 随伴多様体の理論の頂点代数に対する 有効性を確認することを目的としたものである。 P. Fiebigとの共同研究である論文[5], [7]はアフィンリー環の臨界レベルの 表現論を研究し，特に[8]ではFeigin-Frenkel予想の一部である(new) linkage principleを証明した。これらの論文では[2]の結果が本質的に用いられる。 D.Chebotarov とF. Malikovとの共同研究[4]ではカイラル$D$加群のアフィン Kac-Moody代数の表現論への応用を始めた。カイラル$D$加群とは通常の$D$加群のア フィン版であり，層としては頂点代数の加群の層である。続くF. Malikovとの共 同研究[6]では[4]の理論のアフィンKac-Moody代数の指標公式への応用を行った。 論文[10]では臨界レベルのW代数について研究した。

1. Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture, Duke Math. J., Vol. 130 (2005), No. 3, 435-478.
2. Representation Theory of W-Algebras, Invent. Math., Vol. 169 (2007), no. 2, 219--320.
3. Representation theory of W-algebras, II, Adv. Stud. Pure. Math. 61(2011), 51--90.
4. Algebras of twisted chiral differential operators and affine localization of g-modules, Selecta mathematica, new series, vol.17, no. 1, 1-46, 2011.
5. On the restricted Verma modules at the critical level, to appear in Trans. Amer. Math. Soc.
6. A chiral Borel-Weil-Bott theorem, Adv. Math., 229 (2012) 2908-2949.
7. The linkage principle for restricted critical level representations of affine Kac-Moody algebras, to appear in Compos. Math.
8. A remark on the C_2-cofiniteness condition on vertex algebras, Math. Z. vol. 270, no. 1-2, 559-575, 2012.
9. Associated varieties of modules over Kac-Moody algebras and C_2-cofiniteness of W-algebras, arXiv:1004.1554[math.QA].
10. W-algebras at the critical level, Contemp. Math. 565, 1--14, 2012.