所員 -疋田 辰之-

名前 疋田 辰之 (Hikita, Tatsuyuki)
助教
E-Mail thikita(emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 幾何学的表現論の研究
紹 介
 幾何学的表現論の文脈において、あるスキーム上の構成可能層と別のスキーム上の連接層を結びつけるような現象を見つけ、定式化および証明することを目標に研究を行っている。
 例えばA型rational Cherednik algebra(RCA)と呼ばれる代数の表現論は、Beilinson-Bernstein型の局所化定理を通じてアフィン平面上の点のHilbertスキームの代数幾何と結びついている。そしてA型RCAのある有限次元既約表現はdiagonal coinvariantのなす環の変形とみなすことができる。Haimanはdiagonal coinvariantのなす環がHilbertスキーム上の具体的な連接層の大域切断の空間と書けることを示し、それを用いてdiagonal coinvariantの2変数Frobenius級数の公式を与えた。
 一方でRCAと非常に近い代数であるtrigonometric double affine Hecke algebraはSteinberg多様体のaffine版の同変Borel-Mooreホモロジー(と思いたいもの)にconvolutionで積を入れたものとして実現することもでき、それを用いると例えばA型RCAの有限次元既約表現はあるA型affine Springer fiberのBorel-Mooreホモロジーに実現することができる。[1]ではaffine Springer fiberのホモロジーにあるfiltrationを構成し、その随伴商の2変数Frobenius級数がshuffle予想と呼ばれる組み合わせ論の問題に現れる多項式と一致することを示した。
 [2]では上の問題意識と関係して、conical symplectic resolutionのコホモロジー環が別のconical symplectic resolution(symplectic dualと呼ばれる)のアフィン化のあるトーラス作用による固定点スキームの座標環と次数付き環として同型になるだろうという予想を定式化し、それをA型S3多様体やハイパートーリック多様体、アフィン平面上の点のHilbertスキームの場合に証明した。
 最近ではconical symplectic resolutionの同変K群に標準基底と呼べるものを構成することを試みている。例えばSlodowy多様体の場合にはLusztigが定義した同変K群の標準基底があるが、よい群作用を持つconical symplectic resolutionに対しても意味を持つようにLusztigの定義を書き直すことができ、特にハイパートーリック多様体の場合には標準基底を全て具体的に書き下すことができた。またその定義に意味があることの証拠として、標準基底がハイパートーリック多様体上のtilting bundleを定めることを証明した。Lusztigの定義した標準基底は正標数のLie代数の表現論を統制していることが知られているため、この標準基底もまた正標数でのconical symplectic resolutionの量子化の表現論を統制しているだろうと期待している。
  1. Affine Springer fibers of type A and combinatorics of diagonal coinvariants, Adv. Math., 263 (2014), 88--122.
  2. An algebro-geometric realization of the cohomology ring of Hilbert scheme of points in the affine plane, Int. Math. Res. Not. (2016)