所員 -疋田 辰之-

名前 疋田 辰之 (Hikita, Tatsuyuki)
助教
E-Mail thikita(emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 幾何学的表現論の研究
紹 介
 Hecke環や量子群などの標準基底と呼ばれる特別な基底は昔から何らかの空間上の偏屈層の理論を用いて幾何的に解釈されていた。一方で幾何的Langlands対応のような特別な状況においては構成可能層の理論と連接層の理論が結びつく場合がある。したがって連接層の理論を用いて標準基底のような理論を構成できないかと考えるのは自然な問いであると思われる。実際LusztigはアフィンHecke環のある表現の標準基底に対し、Springer特異点解消上の同変連接層の$K$群を用いた幾何的な解釈を与え、それが正標数のLie代数の表現論を統制していることを予想した。この予想は標数が十分大きい場合にBezrukavnikov-Mirkovi\'cにより証明され、またその証明の一部分は一般の錐的シンプレクティック特異点解消でも意味を持つことからLusztig予想の一般化があると期待することもできる。
その目的のためにまず錐的シンプレクティック特異点解消がハミルトニアンなトーラス作用であって固定点が有限になる場合に、その同変$K$群上の標準基底と呼べるものの特徴付けを与える予想を定式化した。特にこの特徴付けは標準基底を原理的に計算するアルゴリズムを与えている。また標準基底は傾斜ベクトル束の直既約成分のクラスで書けると期待される。標準基底の理論はMaulik-Okounkovによる安定基底の理論を用いて定義されるため、それは安定基底を決めるためのパラメータに依存している。よってパラメータを変化させることで連接層の導来圏に様々な$t$-構造が定まり、それがAnno-Bezrukavnikov-Mirkovi\'cによって定義されたBridgeland安定性条件の変種を定める構造の一部になっていることも期待される。そしてこれらの期待が実際に成り立つことをハイパートーリック多様体と呼ばれるクラスの錐的シンプレクティック特異点解消に対して確認した。
偏屈層の圏はしばしば最高ウェイト圏と呼ばれる構造を持つことが知られている。連接層の圏は通常最高ウェイト圏とは程遠いものであるが、少なくともハイパートーリック多様体の場合、上で得られた傾斜ベクトル束の自己準同型環のKoszul双対をとり、その同変加群の圏を考えるとそれは最高ウェイト圏の構造を持つことが示せる。さらに標準基底を特徴付けるのに用いる対合はKoszul双対側では自然に記述することができ、特にそれを導来圏に持ち上げることができる。このようにして同変連接層の導来圏から得られた最高ウェイト圏は何らかの空間上の偏屈層の圏と圏同値になっているのではないかと期待している。
  1. Affine Springer fibers of type A and combinatorics of diagonal coinvariants, Adv. Math., 263 (2014), 88--122.
  2. An algebro-geometric realization of the cohomology ring of Hilbert scheme of points in the affine plane, Int. Math. Res. Not. (2016)