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星 裕一郎

名前 星 裕一郎 (Hoshi, Yuichiro)

准教授

E-Mail yuichiro (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 数論幾何の研究

紹 介

 私は,遠アーベル幾何学やp進タイヒミュラー理論という観点を中心 として,双曲的な代数曲線の数論幾何学の研究を行っている。
これまでに行った研究の代表的な成果として,例えば,以下が挙げられる。
(a) 遠アーベル幾何学におけるセクション予想の研究:セクション予想の副$p$版の反例の構成 [1]や,虚二次体上の代数曲線の双有理ガロアセクションの幾何学性の研究 [4]。
(b) 望月新一氏との共同研究による組み合わせ論的遠アーベル幾何学の確立:双曲的曲線に付随する外ガロア表現の忠実性の証明,副有限デーン捻りの一般論の確立,写像類群の外表現に関する位相幾何学版遠アーベル予想の解決 [2]。
(c) 高次元代数多様体に対する遠アーベル予想の研究:次元$4$以下の多重双曲的曲線に対する遠アーベル予想の解決 [3]や,木下亮氏・中山能力氏との共同研究による付加構造付き楕円曲線のモジュライ空間に対する遠アーベル予想の解決 [7]。
(d) 双曲的曲線の双曲的通常性の研究:標数$3$での冪零許容・冪零通常固有束に付随するハッセ不変量とカルティエ固有形式との関連の確立や,有限次エタール被覆に対する冪零固有束の通常性の安定性という$p$進タイヒミュラー理論における基本問題の否定的解決 [5]。標数$3$種数$5$以下の双曲的超楕円曲線の双曲的通常性の証明 [9]。数値的不変量が小さい場合の冪零許容・冪零通常固有束に付随する超特異因子の具体的記述。
(e) 絶対不分岐底上安定還元を持つ双曲的曲線の等分点の分岐の研究:絶対不分岐底上良還元を持つ代数曲線の等分点の分岐に関するColemanの予想の部分的解決 [6]。
また,最近の研究の成果として,以下が挙げられる。
(f) 飯島優氏との共同研究によって,$11$以上の素数$\ell$に対して,種数$1$の場合の合同部分群問題の副$\ell$版を否定的に解決した [8]。この証明において,$\ell$羃レベルのモジュラー曲線やそのヤコビ多様体に付随する副$\ell$外ガロア表現,$\ell$進ガロア表現の像の副$\ell$性に関する飯島優氏との共同研究が,非常に基本的な役割を果たしている。
(g) $p$進局所体に関連する遠アーベル幾何学のいくつかの話題の研究を行った。具体的には,整数環と対数殻という$2$つの整構造の比較,$p$進局所体の絶対ガロア群の間の開準同型射の遠アーベル幾何学的観点による研究,特殊な$p$進局所体に関連するいくつかの単遠アーベル的復元アルゴリズムの確立,絶対ノルム射の単遠アーベル的復元アルゴリズムの確立などを行った。また,それらの応用として,ある$p$進局所体の絶対ガロア群の外部自己同型群における,体の自己同型から生じる部分群の非正規性を証明した [10]。

  1. Existence of nongeometric pro-p Galois sections of hyperbolic curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 46 (2010), no. 4, 829-848.
  2. Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves I: Inertia groups and profinite Dehn twists (with Shinichi Mochizuki), Galois-Teichmüller Theory and Arithmetic Geometry 659--811, Adv. Stud. Pure Math., 63, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012.
  3. The Grothendieck conjecture for hyperbolic polycurves of lower dimension, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 21 (2014), no. 2, 153--219.
  4. Conditional results on the birational section conjecture over small number fields, to appear in the Proceedings for Symposium in Durham (July 2011) ``Automorphic Forms and Galois Representations''. vol. 2, 187--230, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 415, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014.
  5. Nilpotent admissible indigenous bundles via Cartier operators in characteristic three, Kodai Math. J. 38 (2015), no.3, 690--731.
  6. On ramified torsion points on a curve with stable reduction over an absolutely unramified base, to appear in Osaka J. Math. 54 (2017), no.4, 767--787.
  7. The Grothendieck conjecture for the moduli spaces of hyperbolic curves of genus one (with Ryo Kinoshita and Chikara Nakayama), Kodai Math.J. 40 (2017), no.3, 625--637.
  8. A pro-$l$ version of the congruence subgroup problem for mapping class groups of genus one (with Yu Iijima), J. Algebra 520 (2019), 1-31.
  9. Hyperbolic ordinariness of hyperelliptic curves of lower genus in characteristic three. Kyushu J. Math. 73 (2019), no.2, 317-335.
  10. Topics in the anabelian geometry of mixed-characteristic local fields. Hiroshima Math. J. 49 (2019), no. 3, 323-398.

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)