所員 -星 裕一郎-

名前 星 裕一郎 (Hoshi, Yuichiro)
講師
E-Mail yuichiro (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 数論幾何の研究
紹 介
 私は ``遠アーベル幾何学'' という観点を中心として,双曲的な代数曲線,及 び,それから派生する代数多様体の数論的基本群の研究を行っている。
 [2]では,双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題の研 究を行った。双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題とは,与えられ た双曲的曲線の数論的基本群から,その曲線の開部分スキームや配置空間の数 論的基本群を群論的・関手的に復元することができるか,という問題であ る。[2]では,有限体上の固有な双曲的曲線の数論的基本群に対 するカスプ化問題の副 $\ell$ 版を肯定的に解決した。この研究におい て,[1]で行われた対数的基本群の一般論,特に,対数的ホモトピー 系列の完全性の研究が基本的な役割を果たしている。
 望月新一氏との共同研究[3],[7]では,組み合わせ 論的遠アーベル幾何学の研究を行った。[3]では,ノード非退化な外 表現に対する組み合わせ論的 Grothendieck 予想型の結果を証明して,その系 として,組み合わせ論的カスプ化の単射性を得た。そして,この単射性を用い て,数体や p 進局所体などといった体の上の双曲的曲線の数論的基本群から 生じる外 Galois 表現の忠実性を証明した。また,[7]では,配 置空間群の間の同型射に対する FC 適合性,PSC 型遠半グラフから生じる様々な 円分物の群論的同期化,副有限 Dehn 捻りの一般論,円分物の群論的同期化とス キーム論的同期化の比較,曲線のモジュライ空間上の普遍曲線に対する幾何学 版 Grothendieck 予想などといった様々な話題の研究が行われている。
 [4],[6]では,双曲的曲線に対するモノドロミー充満 性についての研究が行われている。双曲的曲線に対するモノドロミー充満性とい う性質は,楕円曲線に対する ``虚数乗法を持たない'' という性質の類似と考え られ,非常に多くの双曲的曲線がモノドロミー充満であるという事実が,玉川安 騎男氏と松本眞氏によって証明されている。[4]では,モノドロミー充 満な双曲的曲線に対する一般論の研究を行い,特に,種数 0 のモノドロミー充 満な双曲的曲線に対する Grothendieck 予想型の結果を証明し た。[6]では,玉川安騎男氏と松本眞氏によって提出された双曲的 曲線のモノドロミー充満性に関するある問題を,種数が 0 の場合に否定的に解 決した。
 [5],[8]では,遠アーベル幾何学における未解決予想の 一つであるセクション予想の研究が行われている。[5]では,(望月 新一氏によって,双曲的曲線に対する Grothendieck 予想はその副 p 版も成立 することが証明されているにもかかわらず)セクション予想の副 p 版は一般に は成立しないこと,また,(Faltings による Mordell 予想の解決によって,数 体上の固有な双曲的曲線の有理点は高々有限個であることが証明されているにも かかわらず)無限に多くの副 p Galois セクションの共役類を持つ数体上の固 有な双曲的曲線が存在することを証明した。[8]では,有理数体や虚 二次体上の代数曲線に対する双有理セクション予想の研究が行われており,特 に,そのような体上の代数曲線の双有理 Galois セクションが幾何学的になるた めの必要充分条件が与えられている。
 [9],[10]では,数論的な体に関する復元定理が証明 されている。[9]では,p 進局所体に対する Grothendieck 予想 の研究として,p 進局所体の絶対 Galois 群の間の開準同型射に対して,それが 体の拡大から生じることと,その開準同型射が p 進表現の Hodge・Tate 性を保 つことが同値であるという事実が証明されている。また,[10]で は,数体の間の乗法と適合的な全単射に対して,その全単射かあるいはその全単射 の乗法的逆が体構造と適合的であることと,有限素点における主単数のなす(乗法 に関する)部分群たちをその全単射が保つことが同値であるという事実が証明され ている。
  1. The exactness of the log homotopy sequence, Hiroshima Math. J, 39 (2009), no. 1, 61-121.
  2. Absolute anabelian cuspidalizations of configuration spaces of proper hyperbolic curves over finite fields, Publ. Res. Inst. Math. Sci, 45 (2009), no. 3, 661-744.
  3. On the combinatorial anabelian geometry of nodally nondegenerate outer representations (with Shinichi Mochizuki), Hiroshima Math. J. 41 (2011), no. 3, 275-342.
  4. Galois-theoretic characterization of isomorphism classes of monodromically full hyperbolic curves of genus zero, Nagoya Math. J. 203 (2011), 47-100.
  5. Existence of nongeometric pro-p Galois sections of hyperbolic curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 46 (2010), no. 4, 829-848.
  6. On a problem of Matsumoto and Tamagawa concerning monodromic fullness of hyperbolic curves: Genus zero case, Tohoku Math. J. 65 (2013), no. 2, 231-242.
  7. Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves I: Inertia groups and profinite Dehn twists (with Shinichi Mochizuki), ``Galois-Teichmüller Theory and Arithmetic Geometry''. 659-811, Adv. Stud. Pure Math., 63, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012.
  8. Conditional results on the birational section conjecture over small number fields, to appear in the Proceedings for Symposium in Durham (July 2011) ``Automorphic Forms and Galois Representations''.
  9. A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields, Kodai Math. J. 36 (2013), no. 2, 284-298.
  10. On the field-theoreticity of homomorphisms between the multiplicative groups of number fields, to appear in Publ. Res. Inst. Math. Sci.