所員 -星 裕一郎-

名前 星 裕一郎 (Hoshi, Yuichiro)
講師
E-Mail yuichiro (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 数論幾何の研究
紹 介
 私は ``遠アーベル幾何学'' という観点を中心として,双曲的な代数曲線,及び,それから派生する代数多様体の数論的基本群の研究を行っている。
 [2]では,双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題の研究を行った。双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題とは,与えられた双曲的曲線の数論的基本群から,その曲線の開部分スキームや配置空間の数論的基本群を群論的,関手的に復元することができるか,という問題である。[2]において,有限体上の固有な双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題の副 $\ell$ 版を肯定的に解決した。この研究において, [1]で行われた対数的基本群の一般論,特に,対数的ホモトピー系列の完全性の研究が基本的な役割を果たしている。
 望月新一氏との共同研究[3],[8]では,組み合わせ論的遠アーベル幾何学の 研究を行った。[3]では,ノード非退化な外表現に対する組み合わせ論的 Grothendieck 予想型の結果を証明して,その系として,組み合わせ論的カスプ化の単射性を得た。そして,この単射性によって,Belyi や松本眞氏によって証明されていた,数体やp進局所体などといった体の上の非固有な双曲的曲線の数論的基本群から生じる外 Galois 表現の忠実性を,固有な双曲的曲線に対して一般化した。 また,[8]では,配置空間群の間の同型射に対する FC 適合性,PSC 型遠半グラフから生じる様々な円分物の群論的同期化,副有限 Dehn 捻りの一般論,円分物の群論的同期化とスキーム論的同期化の比較,標点付き曲線のモジュライ空間上の普遍曲線に対する幾何学版 Grothendieck 予想などといった話題についての研究が行われている。
 [4],[6],[7]では,双曲的曲線やその配置空間の点に対するモノドロミー充満性 についての研究が行われている。双曲的曲線に対する ``モノドロミー充満'' という性質は,楕円曲線に対する ``虚数乗法を持たない'' という性質の類似と 考えられ,非常に多くの双曲的曲線がモノドロミー充満であるという事実が,玉川安騎男氏と松本眞氏によって証明されている。[4]では,モノドロミー充満な双曲的曲線に対する一般論の研究を行い,特に,種数0のモノドロミー充満な双曲的曲線に対する Grothendieck 予想型の結果を証明した。[6]では,双曲的曲線の配置空間の モノドロミー充満な点に関する研究を行い,双曲的曲線に付随する外 Galois 表現 の核と有理点付き双曲的曲線に付随する Galois 表現の核の比較に関する松本眞氏 による結果の部分的一般化を与え,また,双曲的曲線の配置空間のモノドロミー充満な点に対する Grothendieck 予想型の結果を証明した。[7]では, 玉川安騎男氏と松本眞氏によって提出された双曲的曲線のモノドロミー充満性に関するある問題を,種数が0の場合に否定的に解決した。
 [5],[9]では,遠アーベル幾何学における未解決予想の一つである セクション予想の研究が行われている。[5]では,(望月新一氏によって,双曲的曲線に対する Grothendieck 予想はその副 p版も成立することが証明されているにもかかわらず) セクション予想の副p版は一般には成立しないこと,また, (Faltings による Mordell 予想の解決によって,数体上の固有な双曲的曲線の 有理点は高々有限個であることが証明されているにもかかわらず) 無限に多くの副p Galois セクションの共役類を持つ数体上の固有な双曲的曲線が 存在することを証明した。[9]では,有理数体や虚二次体上の代数曲線 に対する双有理セクション予想の研究が行われており,特に,そのような体上の 代数曲線の双有理 Galois セクションが幾何学的になるための必要充分条件や, 双有理セクション予想の副可解版が成立するような数体上の代数曲線の例が 与えられている。
 [10]では,p進局所体に対する Grothendieck 予想の研究として,p進局所体の 絶対 Galois 群の間の開準同型射に対して,それが体の拡大から生じることと, その開準同型射がp進表現の Hodge・Tate 性を保つことが同値であるという 事実が証明されている。
  1. The exactness of the log homotopy sequence, Hiroshima Math. J, 39 (2009), no. 1, 61-121.
  2. Absolute anabelian cuspidalizations of configuration spaces of proper hyperbolic curves over finite fields, Publ. Res. Inst. Math. Sci, 45 (2009), no. 3, 661-744.
  3. On the combinatorial anabelian geometry of nodally nondegenerate outer representations (with Shinichi Mochizuki), Hiroshima Math. J. 41 (2011), no. 3, 275-342.
  4. Galois-theoretic characterization of isomorphism classes of monodromically full hyperbolic curves of genus zero, Nagoya Math. J. 203 (2011), 47-100.
  5. Existence of nongeometric pro-p Galois sections of hyperbolic curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 46 (2010), no. 4, 829-848.
  6. On monodromically full points of configuration spaces of hyperbolic curves, The Arithmetic of Fundamental Groups - PIA 2010, 167-207, Contributions in Mathematical and Computational Sciences, vol. 2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012.
  7. On a problem of Matsumoto and Tamagawa concerning monodromic fullness of hyperbolic curves: Genus zero case, to appear in Tohoku Math. J.
  8. Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves I: Inertia groups and profinite Dehn twists (with Shinichi Mochizuki), to appear in the Proceedings for Conferences in Kyoto ``Galois-Teichmüller Theory and Arithmetic Geometry''. 659-811, Adv. Stud. Pure Math., 63, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012.
  9. Conditional results on the birational section conjecture over small number fields, to appear in the Proceedings for Symposium in Durham (July 2011) ``Automorphic Forms and Galois Representations''.
  10. A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields, to appear in Kodai Math. J.