所員 -入江 慶-

名前 入江 慶 (Irie, Kei)
助教
E-Mail iriek (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 幾何学の研究
紹 介
 シンプレクティック幾何学(特にハミルトン系の周期解やシンプレクティック容量)と,関連する話題について研究している。 シンプレクティック・トポロジー初期の記念碑的な結果であるGromovの非圧縮性定理は,擬正則曲線を用いてシンプレクティック 多様体の「二次元的な幅」(シンプレクティック容量)を測ることで示された。 その後Hoferらは,シンプレクティック容量の研究と,ハミルトン系の周期解の研究とが密接に関わることを見出した。 この発見は,フレアホモロジーと結びつき,Floer, Hofer, Viterbo等によるシンプレクティック・ホモロジー (定量的なフレアホモロジー)の理論へと深化した。 私自身は,これらの研究の発展や応用を目標にしている。
 例えば[1]では,ユークリッド空間内の領域の単位余接束に対して,そのシンプレクティック・ホモロジーから決まる容量 (Floer-Hofer-Wysocki 容量)の評価を与え,応用として,領域上の周期ビリヤード軌道の長さについての幾何学的な不等式を証明した。 [2], [4], [5]はこれに関連する研究である。 特に[4]では,ユークリッド空間内の領域に対して,その単位余接束のシンプレクティック・ホモロジーを,領域上のループ空間の(相対)ホモロジーを用いて 記述する公式を証明した。 これは,閉多様体の場合にViterbo, Salamon-Weber, Abbondandolo-Schwarz等により得られていた基本的な結果の, 境界付多様体版の一部といえる。
 上で述べた研究は,フレアホモロジーの加群としての構造(および作用汎関数の値から決まるフィルター付け)しか用いていないが,一般にフレアホモロジーやその仲間は, 豊富な代数構造を持つことが知られている。 そこで[3]では,フレアホモロジーの積構造を利用して シンプレクティック容量(Hofer-Zehnder容量)を評価する方法を考えて, 余接束の場合に応用を与えた。
 さて,余接束のフレア理論に現れる代数構造の一部は,ストリング・トポロジーとして研究されているループ空間のホモロジー上の代数構造で記述できると期待されている。 例えば,余接束のフレアホモロジー上の積はループ積で記述できることがAbbondandolo-Schwarz等により証明されており,これは[3]でも重要な役割を果たす。 こうした事情をひとつの動機として, ストリング・トポロジーの代数構造を鎖レベルで定義する問題にも関心を持っている。 その際に本質的な論点となる横断正則性の問題について, de Rham 理論に基づく新しいアプローチにより一定の結果が得られたので,[6]にまとめた。

  1. Symplectic capacity and short periodic billiard trajectory, Math. Z. 272, 1291--1320, 2012.
  2. Displacement energy of unit disk cotangent bundles, Math. Z. 276, 829--857, 2014.
  3. Hofer-Zehnder capacity of unit disk cotangent bundles and the loop product, J. Eur. Math. Soc, accepted.
  4. Symplectic homology of disk cotangent bundles of domains in Euclidean space, J. Symplectic Geom, accepted.
  5. Periodic billiard trajectories and Morse theory on loop spaces, arxiv:1403.1953, Comment. Math. Helv, accepted.
  6. Transversality problems in string topology and de Rham chains, arxiv:1404.0153