所員 -入江 慶-

名前 入江 慶 (Irie, Kei)
助教
E-Mail iriek (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 幾何学の研究
紹 介
 シンプレクティック幾何学(特にハミルトン系のフレア理論)と,関連する主題について研究している。 大域シンプレクティック幾何学における記念碑的な結果であるグロモフの圧縮不可能性定理は,擬正則曲線を用いてシンプレクティック 多様体の「二次元的な幅」(シンプレクティック容量)を測ることで示された。 その後ホーファーらは,シンプレクティック容量の研究と,ハミルトン系の周期軌道の研究とが密接に関わることを見出した。 この発見は,フレア・ホモロジーと結びつき,フレア,ホーファー,ヴィテルボ等によるシンプレクティック・ホモロジー (定量的なフレア・ホモロジー)の理論へと深化した。 私はこれらの研究の発展や応用を目標にしている。
 昨年度の特筆すべき成果として, 力学系における重要問題のひとつである$C^\infty$級の閉補題を, 三次元閉接触多様体上のレーブ流に対して証明した[6] が挙げられる。 自由度$2$以上の一般のハミルトン系においては$C^\infty$級の閉補題が成立しない(エルマンによる結果) ことと比較すると驚くべき結果である。 証明には,三次元閉接触多様体に対して定義される一種のフレア・ホモロジーである埋込接触ホモロジーの理論,特にそれに伴う スペクトル不変量(一種のミニマックス値)に関する最近の進展(ハッチングスとその共同研究者達による)を用いる。 またこの結果を応用して,[7]においては閉曲面のハミルトン微分同相写像に対しても$C^\infty$級の閉補題を証明した。 これは,球面の場合に限っても長年未解決であった問題である。
 それと並行して,いわゆるストリング・トポロジーの基礎付けにも取り組んでいる。 閉多様体の余接束のフレア・ホモロジーと,自由ループ空間のホモロジーが同形であるのは(ヴィテルボ等による)基本的な事実であるが, この対応においてフレア・ホモロジー上の自然な積(パンツ積)は, 自由ループ空間のホモロジー上の(チャス・サリバン)ループ積に対応することが知られている。 フレア・ホモロジー上の代数構造の研究においては高次の積や余積が自然に現れるが,これらを記述するには ストリング・トポロジー側の代数構造を鎖複体のレベルで実現する必要があると考えられる。 しかし(横断正則性をはじめとする)諸々の技術的な困難のためこの方向の研究はあまり進んでいない。 [8]においてド・ラム鎖という道具を用いて多様体の自由ループ空間の新しい鎖複体モデルを提案し, チャス・サリバンにより発見されたホモロジー上のBV(バタリン・ヴィルコヴィスキー)構造を鎖複体レベルで再現することに成功した。 この結果を推し進めて,複数の出力を持つ演算や$S^1$同変ホモロジー上の演算を扱う枠組みをつくる研究が進行中である。
 その他の研究として,シンプレクティック幾何の手法(特に,シンプレクティック・ホモロジーを用いて定義される容量)を応用して 周期ビリヤード軌道の長さの評価を与えた [1]とそれに関連する [2],[4],[5]や, シンプレクティック・ホモロジーの積構造を利用して (ハミルトン系の立場からは)最も重要なシンプレクティック容量のひとつである ホーファー・ゼンダー容量の評価を与えた[3]などがある。

  1. Symplectic capacity and short periodic billiard trajectory, Math. Z. 272, 1291--1320, 2012.
  2. Displacement energy of unit disk cotangent bundles, Math. Z. 276, 829--857, 2014.
  3. Hofer-Zehnder capacity of unit disk cotangent bundles and the loop product, J. Eur. Math. Soc, (JEMS) 16, 2477--2497, 2014.
  4. Symplectic homology of disk cotangent bundles of domains in Euclidean space, J. Symplectic Geom, 12, 511--552, 2014.
  5. Periodic billiard trajectories and Morse theory on loop spaces, Comment. Math. Helv. 90, 225--254, 2015.
  6. Dense existence of periodic Reeb orbits and ECH spectral invariants, J. Mod. Dyn. 9, 357--363, 2015.
  7. A $C^\infty$ closing lemma for Hamiltonian diffeomorphisms of closed surfaces (with M. Asaoka), arXiv:1512.06336v2, submitted.
  8. A chain level Batalin-Vilkovisky structure in string topology via de Rham chains, arXiv:1404.0153v4, submitted.