所員 -入江 慶-

名前 入江 慶 (Irie, Kei)
助教
E-Mail iriek (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 微分幾何学の研究
紹 介
 シンプレクティック幾何学,特にハミルトン系の周期解やシンプレクティック容量に関する研究を行っている。シンプレクティック・トポロジー初期の記念碑的な結果であるGromov の非圧縮性定理は,擬正則曲線を用いてシンプレクティック多様体の"2 次元的な幅" (シンプレクティック容量)を測ることで示された。その後Hofer らは,シンプレクティック容量の概念と,ハミルトン力学系の周期解の研究とが密接に関わることを見出した。この発見は,フレアホモロジーと結びつき,Floer, Hofer, Viterbo らによるシンプレクティックホモロジー(定量的なフレアホモロジー)の理論へと深化した。
 私自身は,これらの研究の発展や応用を目指して研究を行っている。いままで行った研究は大きく二つに分けられる。
 一つ目は,上で述べたようなフレア理論の道具立てを,具体的な古典力学の問題に応用する研究([1],[2],[5])である。[2] では,ユークリッド空間内の領域に対して,その単位余接束のシンプレクティック容量を調べた。応用として,領域上のビリヤード力学系の周期軌道の長さに関する,良い評価を与えた。[5]では,同じ状況で,単位余接束のシンプレクティックホモロジーを,ループ空間の相対ホモロジー群を用いて表す公式を証明した。これは,閉多様体の余接束に対する同様な結果(Viterbo, Salamon-Weber, Abbondandolo-Schwarz)の境界付多様体版(の一部)である。応用として,[2] の主結果の別証明と改良を与えた。
 二つ目は,Hofer-Zehnder(HZ) 容量の研究([3], [4])である。HZ 容量は,ハミルトン系の周期解と関わるシンプレクティック容量の中でも特に重要なものであり,例えば有限性が証明できるだけで周期解に関する著しい結論が導ける。[4] では,HZ 容量に関する最も基本的な結果であるエネルギー・容量不等式(Hofer らによる)の変種を証明した。[3] では,シンプレクティックホモロジーの積構造を活用して,HZ 容量の有限性を示す議論を考え,余接束の場合に応用を与えた。現在は,[3] の内容を発展させる方向で研究が進行中である。
  1. Handle attaching in wrapped Floer homology and brake orbits in classical Hamiltonian systems, Osaka Journal of Mathematics, to appear.
  2. Symplectic capacity and short periodic billiard trajecotry, Mathematische Zeitschrift, 272, 1291-1320, 2012.
  3. Hofer-Zehnder capacity of unit disk cotangent bundles and the loop product, Journal of the European Mathematical Society, accepted.
  4. Hofer-Zehnder capacity and a Hamiltonian circle action with noncontractible orbits, submitted.
  5. Symplectic homology of disk cotangent bundles of domains in Euclidean space, submitted.