柏原 正樹

名前 柏原 正樹 (Kashiwara, Masaki)
名誉教授
E-Mail masaki (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 代数解析学の研究
紹 介
 柏原の研究は,量子群の研究, D-加群の研究,表現論の研究と分けられる。
量子群の研究
 量子群は,統計力学における可解格子模型の研究から, Drinfeld-Jimboが導入したHopf代数であるが,これは新しい 対称性を記述する道具として大きく発展した。 柏原は,絶対温度零度における考察から結晶基底の概念を導入した。 これは,表現論と組み合わせ論をつなぐ鍵となっている。 [1],[7],[10],[15],[16],[17]は,これに関連した研究である。 特に,[1]はスーパー量子群U_q(\mathfrak{gl}(m,n)) のあるカテゴリーの表現が結晶基底をもち, 通常のU_q(\mathfrak{gl}(n))におけるヤング盤の一般化で 結晶基底がパラメトライズできることをしめした。 [16]では,BorcherdsによりMoonshine解決の目的で導入 された一般化されたKac-Moodyリー環の最高重み表現 が結晶基底を持つことをしめした。
D-加群の研究
 D-加群は,柏原が修士の頃から研究してきた対象である。 柏原は,P. Schapiraとともに,D-加群の特性多様体にあたる概念 を多様体の任意の層に対して導入した(層の「特性台」)。 [11],[12]において,この概念を拡張し, ある階数までの特性台の考えを導入し,その性質をしらべた。
 [14]は,ホロノミックD-加群の導来圏と 構成的層の導来圏の対応(Riemann-Hilbert対応)に おいて,構成的層の導来圏の通常のt-構造に対応する ホロノミックD-加群の導来圏のt-構造を研究し, これが,平坦性と結びついていることをしめした。
表現論の研究
 実リー群の表現は旗多様体とその上のD-加群を通じて, 幾何学と結び付いている。 [6]は,表現の複素共役にあたる操作に対応する D-加群の操作が何になるかを調べた。 これは表現のユニタリ性と深く結び付くと思われるが, いまだこの方向での緒に達していない。
 [4]は,アフィンリー環のKazhdan-Lusztig予想の レヴェルが負有理数の場合に証明したものである。
  1. Crystal bases for the quantum superalgebra U_q(\mathfrak{gl(m,n)), q-alg/9810092, J. Amer. Math. Soc., 13 (2000), 295--331 (with G. Benkart and S.-J. Kang).
  2. Ind-Sheaves, Ast\'erisque, 271, Soc. Math. de France (2001) (with P. Schapira).
  3. Characters of irreducible modules with non-critical highest weights over affine Lie algebras, Proceedings of the International Conference on Representation Theory, ed. Jianpan Wang, Zongzhu Lin, China higher eduation press Beijing and Springer-Verlag Berlin Hendelberg (2000) 275--296 (with T. Tanisaki).
  4. Parabolic Kazhdan-Lusztig polynomials and Schubert varieties, J. Algebra, 249 (2002), 306--325 (with T. Tanisaki).
  5. Invariant sheaves, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 36 (2000), 491--509.
  6. Duality of D-modules on flag manifolds, International Mathematics Research Notices, 23 (2000), 1243--1257 (with D. Barlet).
  7. On Level Zero Representations of Quantized Affine Algebras, Duke Math. J., 112 (2002), 117--175.
  8. Micro-support and Cauchy problem for temperate solutions of regular \cal{D}-Modules, Port. Math. (N.S.), 58 (2001), 485--504 (with Teresa Monteiro Fernandes, Pierre Schapira).
  9. Bases cristallines des groupes quantiques, Cours sp\'ecialis\'e 9, Soci\'et\'e Math\'emathique de France (noted by Charles Cochet) 2002.
  10. Realizations of Crystals, Combinatorial and geometric representation theory: an international conference on combinatorial and geometric representation theory, Contemp. Math., 325, AMS, (2003), 133--139.
  11. Truncated microsupport and holomorphic solutions of D-Modules, Ann. Sci. \'Ecole Norm. Sup. 4^e s\'erie, 36 (2003), 583--599. (with Teresa Monteiro Fernandes, Pierre Schapira)
  12. Involutivity of truncated microsupports, math.AG/0205200 Bull. Soc. Math. France, 131 (2003), 259--266. (with Teresa Monteiro Fernandes, Pierre Schapira)
  13. Local cohomology and D-affinity in positive characteristic, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 335 (2002), 993--996. (with Niels Lauritzen)
  14. T-structures on the derived categories of holonomic D-modules and coherent O-modules, math.AG/0302086 Mosc. Math. J., 4 (2004), 847-868.
  15. A functional model for the tensor product of level 1 highest and level -1 lowest modules for the quantum affine algebra U_q(\widehat{\goth{sl_{2), European J. Combin., 25 (2004), 1197-1229. (with B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Y. Takeyama)
  16. Crystal bases for quantum generalized Kac-Moody algebras, Proc. London Math. Soc., 90 (2005), 395--438. (with Kyeonghoon Jeong and Seok-Jin Kang)
  17. Level zero fundamental representations over quantized affine algebras and Demazure modules, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 41 (2005), 223--250.
  18. Categories and Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 332, Springer-Verlag Berlin Heiderberg (2006).
  19. 代数解析概論, 岩波講座 現代数学の展開1, 岩波書店 (2000).