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川北 真之

名前 川北 真之 (Kawakita, Masayuki)

准教授

E-Mail masayuki (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 代数幾何学

紹 介

 代数多様体の双有理幾何を極小モデルプログラム(MMP)の手法で研究している。MMPとは双有理同値類を代表する多様体を標準因子の比較によって抽出する理論である。
初めに3次元双有理幾何の詳細な理解の要請に応えて3次元因子収縮写像の系統的研究を行った。3次元では収縮先が点のときが本質的で,これらの写像を食違い係数が小さい場合を除き完全に分類し,残る場合も分類方法を確立した。研究過程ではReidのgeneral elephant予想も証明した。
高次元MMPの最重要な課題であるフリップの終止予想は,極小対数的食違い係数という特異点の不変量の性質に還元される。現在その立場からMMPの過程で現れる特異点を極小対数的食違い係数を手掛かりに研究している。
多様体と因子の組から因子上に新たな組が導入されるときの両組の特異点の比較が逆同伴問題である。この問題について,両組の対数的標準性の同値性を証明した。続いて精密な逆同伴を目指してEin,Musta\c{t}\u{a},安田のモチーフ積分論の手法を一般化した。
特異点の有界性問題として,超平面切断が与えるArtin環を解析して3次元における極小対数的食違い係数の有界性とGorenstein端末特異点の特徴付けを回復した。また,真の3次元標準特異点のGorenstein指数は6以下であるというShokurovの予想を証明した。
Kollárとde Fernex,Ein,Musta\c{t}\u{a}が導入したイデアルの生成極限を応用して,多様体とイデアルの指数が指定された時の対数的標準な組の対数的食違い係数全体の集合の離散性を証明した。さらに生成極限が定まる形式的べき級数環上でShokurovとKollárの連結性補題を考えて3次元最小対数的標準中心の存在と正規性を示し,これを用いて非特異3次元多様体上の1以上の極小対数的食違い係数の昇鎖律を得た。
極小対数的食違い係数を計算する因子の研究も重要である。非特異曲面上では極小対数的食違い係数が常に重み付き爆発で得られる因子によって計算されることを証明した。また,極小対数的食違い係数の昇鎖律を導くため,係数を計算する因子の多様体自身に関する食違い係数の有界性の研究を行っている。 

  1. General elephants of three-fold divisorial contractions, J. Amer. Math. Soc., 16, No.2, 331-362 (2003)
  2. Three-fold divisorial contractions to singularities of higher indices, Duke Math. J., 130, No.1, 57-126 (2005)
  3. Inversion of adjunction on log canonicity, Invent. Math., 167, No.1, 129-133 (2007)
  4. On a comparison of minimal log discrepancies in terms of motivic integration, J. Reine Angew. Math., 620, 55-65 (2008)
  5. Towards boundedness of minimal log discrepancies by Riemann--Roch theorem, Am. J. Math. 133, No.5, 1299-1311 (2011)
  6. Discreteness of log discrepancies over log canonical triples on a fixed pair, J. Algebr. Geom. Geom. 23, No.4, 765-774 (2014)
  7. The index of a threefold canonical singularity, Am. J. Math. 137, No.1, 271-280 (2015)
  8. A connectedness theorem over the spectrum of a formal power series ring, Int. J. Math. 26, No.11, Article ID 1550088, 27p. (2015)
  9. Divisors computing the minimal log discrepancy on a smooth surface, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 163, No.1, 187-192 (2017)
  10. On equivalent conjectures for minimal log discrepancies on smooth threefolds, arXiv:1803.02539

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