所員 -川北 真之-
名前
川北 真之 (Kawakita, Masayuki)
川北 真之 (Kawakita, Masayuki)
職
准教授
准教授
E-Mail
masayuki （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
masayuki （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
研究内容
代数幾何学
代数幾何学
紹 介
双有理幾何学の基礎は，各双有理同値類を代表する多様体の抽出及び解析である。極小モデル理論はその抽出を標準因子の比較によって実現させる理論であり，極小モデルプログラム(MMP)として定式化されている。3次元では森が本来のプログラムを作り，その後主にShokurovの努力により完成した。MMPの完成にはフリップの存在と終止が必要であるが，Birkar，Cascini，Hacon，McKernanは特殊な状況下でのMMPを機能させ，特に一般次元でフリップの存在を示した。
3次元双有理幾何の詳細な理解の要請に応えて，私は3次元因子収縮写像の系統的研究を行った。3次元では収縮先が点のときが本質的で，これらの写像を食違い係数が小さい場合を除き完全に分類し，残る場合も分類方法を確立した。研究過程ではReidのgeneral elephant予想も証明した。
高次元MMPの目下の最重要な課題はフリップの終止予想である。私の差当っての指針は，MMPの過程で現れる特異点の，極小対数的食違い係数の視点からの研究である。MMPの特異点は極小対数的食違い係数により定義され，係数の大小は特異点の程度を反映する。さらにフリップの終止は係数の下半連続性と昇鎖律の二予想に還元されるからである。
私は始めに逆同伴問題を研究した。(逆)同伴とは，多様体と因子の組から因子上に新たな組が導入されるときの，両組の特異点の比較である。私は両組の対数的標準性の同値性を証明した。対数的標準性とは極小対数的食違い係数が0以上のことである。より一般に両組の極小対数的食違い係数の一致が予想され，Ein，Musta\c{t}\u{a}，安田のモチーフ積分論の手法の一般化を試行した。
極小対数的食違い係数の下半連続性及び昇鎖律のどちらの系でもある基本的な主張として，係数の有界性がある。それはRiemann--Roch公式による粗い評価から，特異点の程度が良い場合の重複度或いは埋込次元の有界性に帰着される。その手法を推し進めて特異点の超平面切断から得られるArtin環を解析し，3次元の係数の有界性及び3次元Gorenstein端末特異点の特徴付けを回復した。
極小対数的食違い係数の代わりに，それを重複度で割ったものに相当する対数的標準閾を考えると扱い易い。昇鎖律への応用から，Kollár及びde Fernex，Ein，Musta\c{t}\u{a}は対数的標準閾のイデアル進半連続性を示したが，私はその極小対数的食違い係数への拡張を研究した。先ず純対数的端末特異点の設定で，モチーフ積分論を用いて係数のイデアル進半連続性を証明した。さらに多様体と因子の組，及びイデアルの指数が指定された時の，対数的標準な三つ組上の対数的食違い係数全体の集合の離散性を示し，系として局所完全交叉特異点の極小対数的食違い係数の昇鎖律を得た。
3次元双有理幾何の詳細な理解の要請に応えて，私は3次元因子収縮写像の系統的研究を行った。3次元では収縮先が点のときが本質的で，これらの写像を食違い係数が小さい場合を除き完全に分類し，残る場合も分類方法を確立した。研究過程ではReidのgeneral elephant予想も証明した。
高次元MMPの目下の最重要な課題はフリップの終止予想である。私の差当っての指針は，MMPの過程で現れる特異点の，極小対数的食違い係数の視点からの研究である。MMPの特異点は極小対数的食違い係数により定義され，係数の大小は特異点の程度を反映する。さらにフリップの終止は係数の下半連続性と昇鎖律の二予想に還元されるからである。
私は始めに逆同伴問題を研究した。(逆)同伴とは，多様体と因子の組から因子上に新たな組が導入されるときの，両組の特異点の比較である。私は両組の対数的標準性の同値性を証明した。対数的標準性とは極小対数的食違い係数が0以上のことである。より一般に両組の極小対数的食違い係数の一致が予想され，Ein，Musta\c{t}\u{a}，安田のモチーフ積分論の手法の一般化を試行した。
極小対数的食違い係数の下半連続性及び昇鎖律のどちらの系でもある基本的な主張として，係数の有界性がある。それはRiemann--Roch公式による粗い評価から，特異点の程度が良い場合の重複度或いは埋込次元の有界性に帰着される。その手法を推し進めて特異点の超平面切断から得られるArtin環を解析し，3次元の係数の有界性及び3次元Gorenstein端末特異点の特徴付けを回復した。
極小対数的食違い係数の代わりに，それを重複度で割ったものに相当する対数的標準閾を考えると扱い易い。昇鎖律への応用から，Kollár及びde Fernex，Ein，Musta\c{t}\u{a}は対数的標準閾のイデアル進半連続性を示したが，私はその極小対数的食違い係数への拡張を研究した。先ず純対数的端末特異点の設定で，モチーフ積分論を用いて係数のイデアル進半連続性を証明した。さらに多様体と因子の組，及びイデアルの指数が指定された時の，対数的標準な三つ組上の対数的食違い係数全体の集合の離散性を示し，系として局所完全交叉特異点の極小対数的食違い係数の昇鎖律を得た。
- Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to smooth points, Invent. Math., 145 (2001), 105-119
- Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to compound A1 points, Compositio Math., 133 (2002), 95-116
- General elephants of three-fold divisorial contractions, J. Amer. Math. Soc., 16 (2003), 331-362
- Three-fold divisorial contractions to singularities of higher indices, Duke Math. J., 130 (2005), 57-126
- Inversion of adjunction on log canonicity, Invent. Math., 167 (2007), 129-133
- On a comparison of minimal log discrepancies in terms of motivic integration, J. Reine Angew. Math., 620 (2008), 55-65
- Towards boundedness of minimal log discrepancies by Riemann--Roch theorem, Am. J. Math. 133 (2011), 1299-1311
- Ideal-adic semi-continuity problem for minimal log discrepancies, arXiv:1012.0395
- Supplement to classification of three-fold divisorial contractions, Nagoya Math. J. 206 (2012), 67-73
- Discreteness of log discrepancies over log canonical triples on a fixed pair, arXiv:1204.5248