代数幾何学，特に正標数の代数多様体の特異点解消について研究している. 特異点解消は代数幾何学の重要な問題の一つである. 標数0の体上で定義され た代数多様体はいつでも 特異点解消を持つ，というのが1964年の廣中平祐先生 による大定理であるが，正標数の場合は特異点解消の存在は 高々3次元までしか知られていない. 私は任意標数の完全体上で定義された代 数多様体の特異点解消を 目指して Idealistic Filtration Program (IFP) を提唱し， Purdue大学の松木謙二氏と共同で研究を進めている. IFPはBierstone氏-Milman 氏，Villamayor氏らによって簡易化された 標数0の場合の特異点解消の構成的証明を正標数の場合にも 通用するように翻訳することをその骨子とする. 雛型となる標数0の場合の構成的証明は，代数多様体の各閉点に 不変量を導入し，その最大軌跡を爆発するという方針で与えられる. この不変量 の定義の際に鍵となる概念が，最大接触超曲面と呼ばれる 非特異な超曲面であるが，正標数の場合は最大接触超曲面が 常に存在するとは限らない. IFPにおいては，idealistic filtration という概念を導入してその構造を解析することで， 先頭生成系と呼ばれる最大接触超曲面の代替物を導入する. 先頭生成系は正標数 においては必ずしも非特異な超曲面を 与えるとは限らず，このことに由来する様々な困難が現れる. その内不変量の最 大軌跡の非特異性，基本単位となる不変量の 上半連続性などの比較的基本的な性質が保証されることを示し， 基本的な概念の導入やその性質と共にIFPの基礎付けを与えたのが [1]，[2]である. 上記論文では基本単位となる不変量について議論しているが， 実際の特異点解消で登場する不変量はこれらを複雑に組み合わせた ものであり，IFPの設定下で機能させる為には様々の変更，調整が 必要である. 実際に機能する不変量を確立するため, 現在は以下の二通りの方向から研究を進 めている． 一つの方向は本来想定していた対数微分飽和を相対微分飽和と呼ばれる 特殊な微分によるより小さな飽和で置き換える方法である. この場合不変量の非 増加性は保証されるが，最終状態の一つである 単項型における非特異性が保証されず，更なる解析が 必要となる. 全空間三次元での埋め込み特異点解消については, Benito氏-Villamayor氏による単項型の解析を簡易化して 爆発で必ず減少する単項型用の不変量を定義し, IFPの枠組み下での再証明を与 えた. この結果は 初めての構成的な証明という意味で価値があり, 技術的懸案の一つであった 同伴改変の代数化と共に松木氏との共著と して[3]にまとめた. 当面の目標はこの手法を未解決の全空間四次元の 場合に拡張することである. この単項型用の不変量は, 巧妙に機能するがその意 味付けは明らかではない. そこで高次元に拡張する為の指針を得るために， [3]と同じ状況下で単項型用の新しい不変量を導入した[6]. この 不変量は, その後の処方箋が確立している 緊密単項型と呼ばれる状況を単項型における最終状態の一つと捉え, 緊密単項型 への近さの尺度と古典的な剰余重複度を組み合わせる ことによって定義される. 意味付けが明快で高次元への拡張に展望を与えるこ と, [3]で導入した不変量の自然な解釈を与えること, 都市伝説であった Mohの安定性と呼ばれる剰余重複度の制御を 特殊な状況下ではあるが確立したことなどが長所である. もう一つの方向は技術的理由から一旦退けていた根基的飽和を 組み込んだより大きな飽和を用いる方法である. この場合については 単項型状態での非特異性が任意次元で成立することを証明した （IFPの概説と共に[4]に所収）. 未だ肝心の不変量の非増加性を得るに は至っていないが，IFPの哲学上は 根基的飽和を含める方が自然なのでこの方針で進展を得る為に特異点解消の アルゴリズムを根基的飽和と両立するべく基礎から改造する試みを進めている. 最後に，特異点解消とはやや趣きが異なるが超平面配置の自由性に ついても研究している. [5]においては3次元空間内の平面の 中心的自由配置について12枚以下では全て再帰的自由であること及び 13枚では再帰的自由でない例が存在することを示し， 12枚以下の中心的平面配置に関する寺尾予想の別証を与えた.

1. H. Kawanoue. Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic. Part I. Foundation of the program: the language of the idealistic filtration. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 43(3):819--909, 2007.
2. H. Kawanoue and K. Matsuki. Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic Part II. Basic invariants associated to the idealistic filtration and their properties. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 46(2), 2010, 359-422.
3. H. Kawanoue and K. Matsuki. Resolution of singularities of an idealistic filtration in dimension 3 after Benito-Villamayor. Adv. Stud. Pure Math. , 70:115--214, 2016.
4. H. Kawanoue. Introduction to the Idealistic Filtration Program with emphasis on the radical saturation. Clay Math. Proc., 20:285--317, 2014.
5. T. Abe, M. Cuntz, H. Kawanoue and T. Nozawa. Non-recursive freeness and non-rigidity. Discrete Math., 339(5):1430--1449, 2016.
6. H. Kawanoue and K. Matsuki. A new strategy for resolution of singularities in the monomial case in positive characteristic. preprint, arXiv:1507.05195