所員 -川ノ上 帆-
名前
川ノ上 帆 (Kawanoue, Hiraku)
川ノ上 帆 (Kawanoue, Hiraku)
職
助教
助教
E-Mail
kawanoue （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
kawanoue （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
U R L
研究内容
代数幾何学の研究
代数幾何学の研究
紹 介
代数幾何学, 特に正標数の代数多様体の特異点解消について研究している。
特異点解消は代数幾何学の重要な問題の一つである。 標数0の体上で定義された代数多様体はいつでも 特異点解消を持つ，というのが1964年の廣中平祐先生 による大定理であるが，正標数の場合は特異点解消の存在は 高々3次元までしか知られていない。 私は任意標数の完全体上で定義された代数多様体の特異点解消を 目指して Idealistic Filtration Program (IFP) を提唱し， Purdue大学の松木謙二氏と共同で研究を進めている。 IFPはBierstone氏-Milman氏，Villamayor氏らによって簡易化された 標数0の場合の特異点解消の構成的証明を正標数の場合にも 通用するように翻訳することをその骨子とする。
雛型となる標数0の場合の構成的証明は，代数多様体の各閉点に 不変量を導入し，その最大軌跡を爆発するという方針で与えられる。 この不変量の定義の際に鍵となる概念が，最大接触超曲面と呼ばれる 非特異な超曲面であるが，正標数の場合は最大接触超曲面が 常に存在するとは限らない。IFPにおいては，idealistic filtration という概念を導入してその構造を解析することで， 先頭生成系と呼ばれる最大接触超曲面の代替物を導入する。 先頭生成系は正標数においては必ずしも非特異な超曲面を 与えるとは限らず，このことに由来する様々な困難が現れる。 その内不変量の最大軌跡の非特異性, 基本単位となる不変量の 上半連続性などの比較的基本的な性質が保証されることを示し， 基本的な概念の導入やその性質と共にIFPの基礎付けを与えたのが [1]，[2]である。
上記論文では基本単位となる不変量について議論しているが， 実際の特異点解消で登場する不変量はこれらを複雑に組み合わせた ものであり，IFPの設定下で機能させる為には様々の変更，調整が 必要である。2008年度にこのような不変量の候補を提示したものの， その後の研究でこの不変量が爆発後に増加する例が見付かり， 現在はこの病理現象を克服する方向で研究を進めている。 具体的には，松木氏は既に廣中先生やVillamayor氏によって 証明されている全空間三次元の場合の埋め込み特異点解消を IFPの手法と比較検討することにより突破口を模索している。 一方私の方は，以下の二つの線に沿って修正案を構成しよう としている。一つはこれまでの研究過程で技術的な問題から 一旦退けていた根基的飽和という操作を組み込むことにより 対症的に病理例を解消する線，もう一つは特異点解消の アルゴリズムを通常扱う弱変換ではなく狭義変換によって 再構成することにより根本的に病理例を解消する線である。 しかし残念ながら今のところいずれの方向でも まだ決定的な進展は得られていない。
2010年度はVillamayor氏をはじめ5人のスペインの同分野の研究者が 数理研に来訪した。この時の議論を通じて彼らの研究の詳細について 理解を深めた。また，11月には3週間ほどオーストリアに滞在し， Hauser氏と議論した。上記の狭義変換を扱うアプローチは， その際に 可能性として浮上してきたものである。 2011年度もスペインのグループとの研究交流や 松木氏の本研究所長期滞在が予定されている。 これらの交流と地道な例の計算を両輪に，特異点解消の 最終的な解決への道を探る予定である。
特異点解消は代数幾何学の重要な問題の一つである。 標数0の体上で定義された代数多様体はいつでも 特異点解消を持つ，というのが1964年の廣中平祐先生 による大定理であるが，正標数の場合は特異点解消の存在は 高々3次元までしか知られていない。 私は任意標数の完全体上で定義された代数多様体の特異点解消を 目指して Idealistic Filtration Program (IFP) を提唱し， Purdue大学の松木謙二氏と共同で研究を進めている。 IFPはBierstone氏-Milman氏，Villamayor氏らによって簡易化された 標数0の場合の特異点解消の構成的証明を正標数の場合にも 通用するように翻訳することをその骨子とする。
雛型となる標数0の場合の構成的証明は，代数多様体の各閉点に 不変量を導入し，その最大軌跡を爆発するという方針で与えられる。 この不変量の定義の際に鍵となる概念が，最大接触超曲面と呼ばれる 非特異な超曲面であるが，正標数の場合は最大接触超曲面が 常に存在するとは限らない。IFPにおいては，idealistic filtration という概念を導入してその構造を解析することで， 先頭生成系と呼ばれる最大接触超曲面の代替物を導入する。 先頭生成系は正標数においては必ずしも非特異な超曲面を 与えるとは限らず，このことに由来する様々な困難が現れる。 その内不変量の最大軌跡の非特異性, 基本単位となる不変量の 上半連続性などの比較的基本的な性質が保証されることを示し， 基本的な概念の導入やその性質と共にIFPの基礎付けを与えたのが [1]，[2]である。
上記論文では基本単位となる不変量について議論しているが， 実際の特異点解消で登場する不変量はこれらを複雑に組み合わせた ものであり，IFPの設定下で機能させる為には様々の変更，調整が 必要である。2008年度にこのような不変量の候補を提示したものの， その後の研究でこの不変量が爆発後に増加する例が見付かり， 現在はこの病理現象を克服する方向で研究を進めている。 具体的には，松木氏は既に廣中先生やVillamayor氏によって 証明されている全空間三次元の場合の埋め込み特異点解消を IFPの手法と比較検討することにより突破口を模索している。 一方私の方は，以下の二つの線に沿って修正案を構成しよう としている。一つはこれまでの研究過程で技術的な問題から 一旦退けていた根基的飽和という操作を組み込むことにより 対症的に病理例を解消する線，もう一つは特異点解消の アルゴリズムを通常扱う弱変換ではなく狭義変換によって 再構成することにより根本的に病理例を解消する線である。 しかし残念ながら今のところいずれの方向でも まだ決定的な進展は得られていない。
2010年度はVillamayor氏をはじめ5人のスペインの同分野の研究者が 数理研に来訪した。この時の議論を通じて彼らの研究の詳細について 理解を深めた。また，11月には3週間ほどオーストリアに滞在し， Hauser氏と議論した。上記の狭義変換を扱うアプローチは， その際に 可能性として浮上してきたものである。 2011年度もスペインのグループとの研究交流や 松木氏の本研究所長期滞在が予定されている。 これらの交流と地道な例の計算を両輪に，特異点解消の 最終的な解決への道を探る予定である。
- H. Kawanoue, Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic. Part I. Foundation of the program: the language of the idealistic filtration. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 43(3):819--909, 2007.
- H. Kawanoue and K. Matsuki, Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic Part II. Basic invariants associated to the idealistic filtration and their properties. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 46(2), 2010, 359-422.