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岸本 展

名前 岸本 展 (Kishimoto, Nobu)

講師

E-Mail nobu (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 偏微分方程式の研究

紹 介
非線形偏微分方程式,特に分散型と呼ばれるクラスの発展方程式(非線形シュレディンガー方程式,KdV方程式等が含まれる)について,実解析的手法に基づいて初期値問題の適切性(解の存在と一意性,初期値の変動に対する安定性)や,線形解への散乱・有限時間爆発といった解の時間大域的性質等を研究している。
線形分散型方程式の発展作用素は,放物型方程式ほど顕著ではないが,その分散性(異なる周波数の波が異なる速度で伝播する性質)に由来する平滑化効果を持ち,これは非線形方程式を解析する際に重要な道具となる。1990年代に登場したフーリエ制限ノルム法は,この種の平滑化効果を捉える新たな手法として,非線形分散型方程式の研究を飛躍的に進展させた。現在までの研究では,方程式の線形部分の性質に基づいたフーリエ制限ノルム法に,個々の方程式の非線形部分がもたらす相互作用の影響を考慮した修正を加えるというアイデアにより,従来の手法による結果の緻密科に成功した[1,2,6]。
ここ数年は主として周期境界条件下での(即ちトーラス上での)初期値問題に取り組ん でいる。トーラスのようなコンパクトな空間上では,解の分散性に由来する平滑化効果は 大幅に制限されるが,方程式の線形部分のもつ時間振動の周波数が非線形部分の周波数か らずれている状況(非共鳴状態)においては,時間についてある種の平均化をすることで ある程度の平滑化効果を引き出せる。これを活用し,いくつかの方程式では初期値問題の 適切性や解の爆発等について非周期的な場合と対応する結果を得た[3,4] 。一方で,平滑化 効果を得られない共鳴状態にある相互作用を詳細に調べることにより,解の挙動が非周期 的な場合と本質的に異なる例も示した[5,9]。また,より複雑な共鳴構造を持つ回転流体の 方程式に対して,組合せ論の手法により共鳴状態が起こる頻度を見積もるという試みを行 った[7,8]。
現在は初期値問題の解の一意性を証明するための一般的な枠組みの整備や,微小摂動さ せた方程式から元の方程式への解の収束問題[10] ,概周期関数を初期値とする問題などに 取り組んでいる。周期境界条件を課した初期値問題については,共鳴相互作用が解の挙動 を決定する上で重要な役割を果たすと考えられるので,今後も様々な分散型方程式につい て共鳴相互作用を解析する手法を開発し,それが解の振る舞いに与える影響について解明 していきたい。
  1. Low-regularity bilinear estimates for a quadratic nonlinear Schrodinger equation, Journal of Differential Equations 247 (2009), 1397-1439.
  2. Well-posedness of the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation at the critical regularity, Differential and Integral Equations 22 (2009), 447-464.
  3. Local well-posedness for the Zakharov system on multidimensional torus, Journal d'Analyse Mathematique 119 (2013), 213-253.
  4. Construction of blow-up solutions for Zakharov system on T^2, Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Analyse Non Lineaire 30 (2013), 791--824. (with M. Maeda)
  5. Remark on the periodic mass critical nonlinear Schrodinger equation, Proceedings of the American Mathematical Society 142 (2014), 2649--2660.
  6. Well-posedness for a quadratic derivative nonlinear Schrödinger system at the critical regularity, Journal of Functional Analysis 271 (2016), 747-798. (with M. Ikeda and M. Okamoto)
  7. A number theoretical observation of a resonant interaction of Rossby waves, Kodai Mathematical Journal 40 (2017), 16--20. (with T. Yoneda)
  8. Global solvability of the rotating Navier-Stokes equations with fractional Laplacian in a periodic domain, to appear in Mathematische Annalen 372 (2018), 743-779. (with T. Yoneda)
  9. Ill-posedness of the third order NLS equation with Raman scattering term, to appear in Mathematical Research Letters 25 (2018), 1447-1484. (with Y. Tsutsumi)
  10. Dispersive limits for some perturbations of the NLS equation, monatshefte fur Mathematik 188 (2019), 629-651. (with M. Darwich and L. Molinet)

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)