所員 -岸本 展-

名前 岸本 展 (Kishimoto, Nobu)
講師
E-Mail nobu (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 偏微分方程式の研究
紹 介
 非線形偏微分方程式,特に分散型と呼ばれるクラスの発展方程式(非線形シュレディンガー方程式,KdV方程式等が含まれる)について,実解析的手法に基づいて初期値問題の適切性(解の存在と一意性,初期値の変動に対する安定性)や,線形解への散乱・有限時間爆発といった解の時間大域的性質等を研究している。
 線形分散型方程式の発展作用素は,放物型方程式ほど顕著ではないが,その分散性(異なる周波数の波が異なる速度で伝播する性質)に由来する平滑化効果を持ち,これは非線形方程式を解析する際に重要な道具となる。1990年代に登場したフーリエ制限ノルム法は,この種の平滑化効果を捉える新たな手法として,非線形分散型方程式の研究を飛躍的に進展させた。現在までの研究では,方程式の線形部分の性質に基づいたフーリエ制限ノルム法に,個々の方程式の非線形部分がもたらす相互作用の影響を考慮した修正を加えるというアイデアにより,精密な結果を得ることに成功した[1-5]。
 ここ数年は主として周期境界条件下での(即ちトーラス上での)初期値問題に取り組んでいる。トーラスのようなコンパクトな空間上では,解の分散性に由来する平滑化効果は大幅に制限されるが,方程式の線形部分のもつ振動の周波数が非線形部分の周波数からずれている状況(非共鳴状態)において,フーリエ制限ノルム法や部分積分により方程式を繰り返し変形する手法(一種のノーマルフォーム)を用いることである程度の平滑化効果を引き出せる。これを活用し,初期値問題の適切性や解の爆発等について非周期的な場合と対応する結果を得た[5-8]。現在は初期値問題の解の一意性を証明するための一般的な枠組みの開発や,微小摂動させた方程式から元の方程式への解の収束問題に取り組んでいる。
 周期境界条件下では,十分な平滑化効果を得られない共鳴状態にある周波数がどれくらいあるかを見積もることが重要となるが,波の振動は離散的な波数(格子点)に制限されているので,特定の条件をみたす格子点の組の個数を評価することが必要であり,組合せ論的な知識がしばしば有用となる。現在までに非線形シュレディンガー方程式[9]や,より複雑な共鳴構造を持つ回転流体の方程式[10]に対して初等的な組合せ論に基づいた共鳴構造の解析を行っており,共鳴相互作用が解の振る舞いに与える影響について今後解明したい。
  1. Low-regularity bilinear estimates for a quadratic nonlinear Schrodinger equation, Journal of Differential Equations 247 (2009), 1397-1439.
  2. Well-posedness of the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation at the critical regularity, Differential and Integral Equations 22 (2009), 447-464.
  3. Counterexamples to bilinear estimates for the Korteweg-de Vries equation in the Besov-type Bourgain space, Funkcialaj Ekvacioj 53 (2010), 133-142.
  4. Local well-posedness for quadratic nonlinear Schrodinger equations and the "good" Boussinesq equation, Differential and Integral Equations 23 (2010), 463-493. (with K. Tsugawa)
  5. Sharp local well-posedness for the "good" Boussinesq equation, Journal of Differential Equations 254 (2013), 2393-2433.
  6. Local well-posedness for the Zakharov system on multidimensional torus, Journal d'Analyse Mathematique 119 (2013), 213-253.
  7. Resonant decomposition and the I-method for the two-dimensional Zakharov system, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33 (2013), 4095-4122.
  8. Construction of blow-up solutions for Zakharov system on T^2, Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Analyse Non Lineaire 30 (2013), 791--824. (with M. Maeda)
  9. Remark on the periodic mass critical nonlinear Schrodinger equation, Proceedings of the American Mathematical Society 142 (2014), 2649--2660.
  10. A number theoretical observation of a resonant interaction of Rossby waves, to appear in Kodai Mathematical Journal. (with T. Yoneda)