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越川 皓永

名前 越川 皓永 (Koshikawa, Teruhisa)

助教

E-Mail teruhisa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)

U R L

研究内容 整数論,数論幾何学の研究

紹 介

代数多様体のコホモロジー,特に射影的で滑らかな多様体のコホモロジーに興味を持って研究している。少し違う言い方をすれば,純モチーフが研究対象といえる。純モチーフは,Langlands 対応により保型表現とも対応するので,そのような関連分野や志村多様体にも興味を持っている。

Bhatt-Morrow-Scholze は,$p$進体上の良還元な多様体に対し,Fontaine の定義した$p$進周期環$A_{inf}$に係数を持つ新しいコホモロジー理論を構成し,整$p$進Hodge 理論の幾何的な理解を進展させた。[3] では, 彼らの結果の大部分を半安定還元の場合に拡張した。(\v{C}esnavi\v{c}ius 氏との共同研究)Bhatt-Morrow-Scholze はさらに, 再び良還元の場合に, Breuil-Kisin 加群版のコホモロジーの構成にも成功している。 この分野はこれからの進展が予想され, 研究を引き続き行う予定である。

有限体上のK3曲面のTate 予想は最近Madapusi Pera らにより証明されたが, その証明では久賀佐武構成を志村多様体の幾何と併せて調べることが鍵となっている。この方向をさらに推し進め, K3曲面の虚数乗法付きの持ち上げについて論文を準備中である。(伊藤哲史氏, 伊藤和広氏との共同研究)

志村多様体のコホモロジーについてKottwitz の予想あるいはそれと関連する消滅定理が知られている。最近では, Serre 予想やTaylor-Wiles の理論の一般化を背景に, これらの消滅定理の捩れ係数版も盛んに研究されている。現在, Harris-Taylor が局所Langlands 対応の証明で用いた志村多様体のクラスに対して, Boyer の先行結果を深める研究を行っている。

[1] では代数体上の純モチーフについて,高さという不変量を定義しその基本的性質を調べている。Faltings はアーベル多様体に対してその高さを定義し,その振る舞いを調べることで,Tate 予想・Shafarevich 予想・Mordell 予想といった重要な予想群をまとめて証明した。加藤和也は,一般の純モチーフに対してFaltings の高さを一般化することを提案した。私はその精密な定義を与え,いくつかの性質を証明した。純モチーフの高さは,代数体だけでなく, 有限体上あるいは複素数体上の曲線の関数体に対しても類似を考えることができる。幾何的にはある種の正値性やisotriviality と関係していると考えられる。[2] では,論文中では純モチーフの高さについては言及しないものの,この考えに基づき有限体上の関数体の場合に純モチーフの代わりにその$p$進実現であるアイソクリスタルのisotriviality について調べた。複素数体の場合には, Hodge 構造の変動と関係しており, Simposon 対応との関係についても考察した。有限体上の場合にもOgus-Vologodsky の非可換Hodge理論と関係がある。これらのことも論文にまとめる予定である。

  1. On heights of motives with semistable reduction, preprint.
  2. Overconvergent unit-root F-isocrystals and isotriviality, Math. Res. Lett. 24 (2017), no. 6, 1707--1727.
  3. The $A_{inf}$-cohomology in the semistable case, preprint. (with K. \v{C}esnavi\v{c}ius.)

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)