所員 -越川 皓永-

名前 越川 皓永 (Koshikawa, Teruhisa)
助教
E-Mail teruhisa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 整数論,数論幾何学の研究
紹 介
代数多様体のコホモロジー,特に射影的で滑らかな多様体のコホモロジーに興味を持って研究している。少し違う言い方をすれば,純モチーフが研究対象といえる。純モチーフは、Langlands 対応により保型表現とも対応するので、そのような関連分野や志村多様体にも興味を持っている。

[1] では代数体上の純モチーフについて,高さという不変量を定義しその基本的性質を調べている。Faltings はアーベル多様体に対してその高さを定義し,その振る舞いを調べることで,Tate 予想・Shafarevich 予想・Mordell 予想といった重要な予想群をまとめて証明した。加藤和也は,一般の純モチーフに対してFaltings の高さを一般化することを提案した。私はその精密な定義を与え、いくつかの性質を証明した。技術的には,整p進Hodge 理論,特にBreuil-Kisin 加群を用いることが鍵となっている。[1] の執筆時にはBreuil-Kisin 加群はp進Hodge理論の線形代数的な側面である部分が強かったが、その後Bhatt-Morrow-Scholze によりFontaine の定義したp進周期環Ainfに係数を持つ新しいコホモロジー理論が定義され、Breuil-Kisin 加群の幾何的な理解へ向けた大きな進展があった。最近では、この新しいコホモロジー理論自体についての研究も行っており、論文を準備中である。

純モチーフの高さは、代数体だけでなく、有限体上あるいは複素数体上の曲線の関数体に対しても類似を考えることができる。幾何的にはある種の正値性やisotriviality と関係していると考えられる。[2] では、論文中では純モチーフの高さについては言及しないものの、この考えに基づき有限体上の関数体の場合に純モチーフの代わりにそのp進実現であるアイソクリスタルのisotriviality について調べた。この場合にはLanglands 対応が確立されており、[2] はその応用といえる。複素数体の場合には、Hodge 構造の変動と関係しており、Simpson 対応との関係についても考察した。有限体上の場合にもOgus-Vologodsky の非可換Hodge理論と関係がある。これらのことも論文にまとめる予定である。

  1. On heights of motives with semistable reduction, preprint.
  2. Overconvergent unit-root F-isocrystals and isotriviality, to appear in Math. Res. Letters.