メンバー

TOP > メンバー > 越川 皓永

越川 皓永

名前 越川 皓永 (Koshikawa, Teruhisa)

助教

E-Mail teruhisa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)

U R L

研究内容 整数論,数論幾何学の研究

紹 介

代数多様体のコホモロジー,特に射影的で滑らかな多様体のコホモロジーに興味を持って研究している。少し違う言い方をすれば,純モチーフが研究対象といえる。純モチーフは,Langlands 対応により保型表現とも対応するので,そのような関連分野や志村多様体にも興味を持っている。

有限体上のK3曲面のTate 予想はMadapusi Pera らにより証明されたが, その証明では久賀佐武構成を志村多様体の幾何と併せて調べることが鍵となっている。この方向をさらに推し進め, K3曲面の虚数乗法付きの持ち上げとそのTate予想(K3曲面$X$に対し,$X\times X$の場合)への応用について研究した。また,標数2の場合にMadapusi Pera の証明自体に飛躍があることを見つけ,これを修正した。この修正には以下でも触れる整$p$進Hodge理論の進展が本質的に用いられている。(伊藤哲史氏, 伊藤和広氏との共同研究)

志村多様体のコホモロジーについてKottwitz の予想あるいはそれと関連する消滅定理が知られている。最近では,Serre 予想やTaylor-Wiles の理論の一般化を背景に,これらの消滅定理の捩れ係数版も盛んに研究されている。Caraiani-Scholze はコンパクトなユニタリ志村多様体に対して,中間次元以外である種のコホモロジー類が消滅するという結果を証明した。一方,Harris-Taylor が局所Langlands 対応の証明で用いた志村多様体のクラスに対しては,Boyer によってより一般的にどの範囲でコホモロジー類が消えるかをコントロールする結果が得られている。[6] ではこれを群論的な結果と組み合わせて得られる消滅定理について調べた。またBoyer の結果をCaraiani-Scholze のアプローチから一般化する,あるいは理解するという研究も行っている。

Bhatt-Morrow-Scholze は,$p$進体上の良還元な多様体に対し,Fontaine の定義した$p$進周期環$A_{inf}$に係数を持つ新しいコホモロジー理論を構成し,整$p$進Hodge 理論の幾何的な理解を進展させた。[3] では,彼らの結果の大部分を半安定還元の場合に拡張した。(\v{C}esnavi\v{c}ius 氏との共同研究)Bhatt-Morrow-Scholze は,再び良還元の場合に,Breuil-Kisin 加群版のコホモロジーの構成にも成功し,さらにBhatt-Scholze はプリズマティックコホモロジーという新しい枠組みを導入している。 現在,対数版プリズマティックコホモロジーの理論を研究中である。また,$A_{inf}$コホモロジーを相対的な状況に一般化する研究もIldar Gaisin と行っている。我々のアプローチはAbbes-Gros による相対Hodge-Tate スペクトル系列と密接に関係する。

[1] ではアーベル多様体のFaltings 高さを代数体上の純モチーフについて一般化する研究を加藤和也のアイデアを修正して行った。正標数の関数体類似に基づいて,[2] では純モチーフの代わりにその$p$進実現であるアイソクリスタルのisotriviality について調べた。[5] では有理数体上の$GL(3)$のある1つの自己双対的でない保型表現とvan GeemanとTopの純モチーフが実際に対応することを,Greni\'e による先行研究を基に, 確認した。(伊藤哲史氏,三枝洋一氏との共同研究)

  1. On heights of motives with semistable reduction, preprint.
  2. Overconvergent unit-root F-isocrystals and isotriviality, Math. Res. Lett. 24 (2017), no. 6, 1707--1727.
  3. The $A_{inf}$-cohomology in the semistable case, preprint. (with K. \v{C}esnavi\v{c}ius.)
  4. CM liftings of K3 surfaces over finite fields and their applications to the Tate conjecture, preprint. (with K. Ito and T. Ito.)
  5. Galois representations associated with a non-selfdual automorphic representation of GL(3), preprint. (with T. Ito and Y. Mieda.)
  6. Vanishing theorems for the mod $p$ cohomology of some simple Shimura varieties, preprint.

← BACK TO THE TOP

← BACK TO THE TOP

  • Follow on

Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)