所員 -向井 茂-

名前 向井 茂 (Mukai, Shigeru)
教授
E-Mail mukai (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 代数幾何学とモジュライ
紹 介
 Enriques曲面,$K$3曲面や3次元ファノ多様体を中心に,自己同型,モジュライ,有理性などを取っ掛りとして,代数多様体を研究している. Enriques曲面はCoble曲面と呼ばれる有理曲面への穏やかな退化をもつが,このことを用いて2変数クレモナ群の研究,例えば,平面曲線の分解群,にも応用している.
80年代に発見した$K$3曲面とMathieu群$M_{24}$との関係(文献[3])の類似を大橋久範と共同で考察し, Enriques曲面にsemi-symplecticに作用できる有限群を分類した(部分的だが,文献[15]). Enriques曲面やCoble曲面の諸性質はその上の Riemann 球の配置を統制するルート系(文献[10])を使うと理解しやすい. これを用いて自己同型群が実質的に自由なEnriques曲面の例をいくつか得た(例えば,文献[12]). また,自己同型群として出現する無限離散群を理解する試みとして次を提唱した.

[問題]
Enriques曲面やCoble曲面の自己同型群の実質コホモロジー次元(virtual cohomological dimension)は、種数1ファイブレーションの(Jacobian ファイブレーションの)Mordell-Weil階数の最大に一致するか?

少し修正は必要であるが,同様の問題は$K$3曲面に対しても考えられ,部分的結果を得ている.
Enriques曲面のモジュライは10次元であるが,多くの興味深い1,2次元族を含み,ムーンシャイン現象解明への応用が期待される(例えば,文献[14]). また,Reye合同(2次曲面巣)から得られるEnriques曲面族と2次曲面網から得られる22次3次元ファノ多様体$V_{22}$(文献[4])の関係もこれからの研究テーマとして興味深い.
$K$3曲面の関連では,この$V_{22}$の記述を一般化して,高次数偏極$K3$曲面の研究(特に,モジュライ空間の単有理性)に,新しい場合(30次)を付け加えることができた(文献[13]).
モジュライの基礎理論(文献[6])との関係で不変式論や群の表現と関係する代数多様体も研究しているが, 不変式論においては,Hilbertの第14問題(永田の反例がある)を肯定的に復活する試みとして,次を提出した(文献[7]).

[問題]
多項式環に2次元加法群が線型に作用するとき,不変式環は有限生成か?

 この問題は表現論(例えば Kronecker quiver の表現や 共形ブロックの個数に関するVerlinde公式) とも深く結びついている。 また,ベクトル束のモジュライ空間とも関係深い。
  1. Duality between \mathbf{D}(X) and \mathbf{D}(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J., 81 (1981), 53--175.
  2. On the moduli space of bundles on K3 surfaces, I, in 'Vector Bundles on Algebraic Varieties', Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987, pp.341--413.
  3. Finite groups of automorphisms of K3 surfaces and the Mathieu group, Invent. Math., 94 (1988), 183--221.
  4. Biregular classification of Fano 3-folds and Fano manifolds of coindex 3, Proc. Nat'l. Acad. Sci. USA, 86 (1989), 3000-3002.
  5. Fano 多様体論の新展開, New development of theory of Fano manifolds, 数学, (English translation : Sugaku Exposition 15 (2002)), 47巻 (1995), 125--144.
  6. モジュライ理論1,2, 岩波書店,1998年,2000年,455頁  (English translation "An introduction to invariants and moduli", Cambridge University Press, 2003)
  7. Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group, RIMS Preprint, 1343, 2001.
  8. Curves and symmetric spaces, II, Ann. of Math., 172 (2010), 1359--1558.
  9. Kummer's quartics and numerically reflective involutions of Enriques surfaces, J. Math. Soc. Japan, 64(2012), 231--246.
  10. Lecture notes on K3 and Enriques surfaces, in "Contributions to Algebraic Geometry", P. Pragacz (ed.), European Math. Soc., Zurich, 2012, 389--405.
  11. Igusa quartic and Steiner surfaces, Contemp. Math. 564(2012), 205--210. Correction in an appendix of "Siegel modular forms of genus 2 and level 2" (by F. Clery, G. van der Geer and S. Grushevsky), in International J. Math. (2015), 1550034.
  12. (with H. Ohashi) The automorphism groups of Enriques surfaces covered by symmetric quartic surfaces, in "Recent Advances in Algebraic Geometry", A volume in honor of Rob Lazarsfeld's 60th birthday, eds. Hacon, Mustata and Popa, Cambridge Univ. Press, 2015, 307--320.
  13. K3 surfaces of genus sixteen, in "Minimal models and extremal rays", Adv. Stud. Pure Math. 70 (2016), 379―396.
  14. (with S. Kawaguchi and K.-I. Yoshikawa) Resultants and the Borcherds Φ-function, to appear in Amer. J. Math.
  15. (with H. Ohashi) Finite groups of automorphisms of Enriques surfaces and the Mathieu group $M_{12}$, preprint, arXiv1410.7535,