京都大学数理解析研究所

紹 介

　対象としては代数曲線，K3曲面と3次元Fano多様体を中心に，手法・概念としてはモジュライや自己同型を中心に研究を続けている。 モジュライの基礎理論（文献[5]）との関係で不変式論や群の表現と関係する代数多様体も研究している。
　K3曲面の関連では，80年代に発見した Mathieu群との関係（文献[3]）を cubic 4-fold や Enriques 曲面に 拡張することを考えた。 Enriques 曲面に関しては，その準備として特別な 位数2の自己同型を文献[8,9]で調べ， 最近になって， M-semi-symplectic な作用を分類することができた（大橋久範氏との共同研究）。 Enriques 曲面の研究には，その上の Riemann 球の配置を統制するルート系が重要で，これらの結果はルート系の理解の進展に負うところが大きい。 また，別の方向としては，高種数偏極K3曲面の研究（特に，モジュライ空間の単有理性）に，新しい場合を付け加えることができた（文献[10]）。
　不変式論においては，Hilbertの第14問題（永田の反例がある）を肯定的に復活する試みとして，次を提出した（文献[6]）。
[問題] 多項式環に2次元加法群が線型に作用するとき，不変式環は有限生成か？
この問題は表現論(例えば Kronecker quiver の表現や 共形ブロックの個数に関するVerlinde公式) とも深く結びついている。 また，ベクトル束のモジュライ空間とも関係深い。

1. Duality between \mathbf{D}(X) and \mathbf{D}(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J., 81 (1981), 53--175.
2. On the moduli space of bundles on K3 surfaces, I, in 'Vector Bundles on Algebraic Varieties', Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987, pp.341--413.
3. Finite groups of automorphisms of K3 surfaces and the Mathieu group, Invent. Math., 94 (1988), 183--221.
4. Fano 多様体論の新展開, New development of theory of Fano manifolds, 数学, (English translation : Sugaku Exposition 15 (2002)), 47巻 (1995), 125--144.
5. モジュライ理論1，2， 岩波書店，1998年，2000年，455頁　 (English translation "An introduction to invariants and moduli", Cambridge University Press, 2003)
6. Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group, RIMS Preprint, 1343, 2001.
7. Curves and symmetric spaces, II, Ann. of Math., 172 (2010), 1359--1558.
8. Numerically trivial involutions of Kummer type of an Enriques surface, Kyoto J. Math., vol. 50, no. 4 (2010), 889--902.
9. Kummer's quartics and numerically reflective involutions of Enriques surfaces, J. Math. Soc. Japan, 64(2012), 231--246.
10. K3 surfaces of genus sixteen, RIMS preprint, 1743, 2012.