所員 -向井 茂-

名前 向井 茂 (Mukai, Shigeru)
教授
E-Mail mukai (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 代数幾何学とモジュライ
紹 介
 Enriques曲面,$K$3曲面や3次元ファノ多様体を中心に,それらのモジュライや自己同型を(ただしファノ多様体に対しては有理性も)取っ掛りとして,研究している. モジュライの基礎理論(文献[5])との関係で不変式論や群の表現と関係する代数多様体も研究している.
80年代に発見した$K$3曲面と大Mathieu群$M_{24}$との関係(文献[3])の類似を大橋久範と共同で考察し, Enriques曲面にsemi-symplecticに作用できる有限群を分類することに成功した. 小Mathieu群$M_{12}$と関係深い部分については文献[13]にまとめた. これらの結果やその証明はEnriques 曲面上の Riemann 球の配置を統制するルート系(文献[9])を使うと理解しやすい. これを用いて自己同型群が実質的に自由なEnriques曲面の例をいくつか得ている(例えば,文献[12]). 最近は次の問題を中心に研究している。

[問題]
Enriques曲面の自己同型群の実質コホモロジー次元(virtual cohomological dimension)は、種数1ファイブレーションの(Jacobian ファイブレーションの)Mordell-Weil階数の最大に一致するか?

なお,コホモロジーに鏡映で作用する対合の研究(文献[8])は主偏極Abel曲面のモジュライの自己射に関する結果(文献[10])を副産物として生んだ.
$K$3曲面の関連では,高次数偏極$K3$曲面の研究(特に,モジュライ空間の単有理性)に,新しい場合(30次)を付け加えることができた(文献[11]).
不変式論においては,Hilbertの第14問題(永田の反例がある)を肯定的に復活する試みとして,次を提出した(文献[6]).

[問題]
多項式環に2次元加法群が線型に作用するとき,不変式環は有限生成か?

 この問題は表現論(例えば Kronecker quiver の表現や 共形ブロックの個数に関するVerlinde公式) とも深く結びついている。 また,ベクトル束のモジュライ空間とも関係深い。
  1. Duality between \mathbf{D}(X) and \mathbf{D}(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J., 81 (1981), 53--175.
  2. On the moduli space of bundles on K3 surfaces, I, in 'Vector Bundles on Algebraic Varieties', Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987, pp.341--413.
  3. Finite groups of automorphisms of K3 surfaces and the Mathieu group, Invent. Math., 94 (1988), 183--221.
  4. Fano 多様体論の新展開, New development of theory of Fano manifolds, 数学, (English translation : Sugaku Exposition 15 (2002)), 47巻 (1995), 125--144.
  5. モジュライ理論1,2, 岩波書店,1998年,2000年,455頁  (English translation "An introduction to invariants and moduli", Cambridge University Press, 2003)
  6. Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group, RIMS Preprint, 1343, 2001.
  7. Curves and symmetric spaces, II, Ann. of Math., 172 (2010), 1359--1558.
  8. Kummer's quartics and numerically reflective involutions of Enriques surfaces, J. Math. Soc. Japan, 64(2012), 231--246.
  9. Lecture notes on K3 and Enriques surfaces, in "Contributions to Algebraic Geometry", P. Pragacz (ed.), European Math. Soc., Zurich, 2012, 389--405.
  10. Igusa quartic and Steiner surfaces, Contemp. Math. 564(2012), 205--210. Correction in an appendix of "Siegel modular forms of genus 2 and level 2" (by F. Clery, G. van der Geer and S. Grushevsky), to appear in International J. Math.
  11. K3 surfaces of genus sixteen, RIMS preprint, 1743, 2012. to appear in "Minimal models and extremal rays" (Adv. Stud. Pure Math.).
  12. (with H. Ohashi) The automorphism groups of Enriques surfaces covered by symmetric quartic surfaces, in ``Recent Advances in Algebraic Geometry", A volume in honor of Rob Lazarsfeld's 60th birthday, eds. Hacon, Mustata and Popa, Cambridge Univ. Press, 2015, 307--320.
  13. (with H. Ohashi) Finite groups of automorphisms of Enriques surfaces and the Mathieu group $M_{12}$, preprint, arXiv1410.7535,