所員 -中島 啓-

名前 中島 啓 (Nakajima, Hiraku)
教授
E-Mail nakajima (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 表現論、代数幾何学、微分幾何学
紹 介
 理論物理学に起源を持つ,4次元多様体上のインスタントン方程式の解のモジュ ライ空間を研究することを中心テーマとしている。主に,4次元多様体が代数曲 面と仮定して,連接層をパラメトライズするモジュライ空間を代わりに調べる。 インスタントン方程式は非線形偏微分方程式であるために取扱いに難しいとこ ろがあるのに対し,連接層は,代数幾何的な手法で取り扱うことが可能である からである。 また,その代数曲面が,単純特異点の特異点解消である場合には,非可換環の 表現論を用いて研究することも可能であり,モジュライ空間を 箙多様体 と名付けて細かく調べている。[6,7]
 箙多様体の研究の成果の一つとして,そのコホモロジー群(正確には同変K群)に 量子ループ環の表現の構造が定義できることが分かり,これを用いて,指 標公式を導出した。[8,9] これは,箙多様体の理論を使わずに証明することが現在までのところできてい ない結果である。
 また,$\mathbf R^4$上の インスタントンのモジュライ空間の上で,微分形式を 同変ホモロジーの意味で積分する,Nekrasovの分配関数の性質に興味を持って いる。特に$\mathbf R^4$の一点ブローアップの上のインスタントンのモジュラ イ空間との関係を,神戸大の吉岡康太氏との共同研究で詳しく調べ,分配関数 の持ついろいろな性質を導いた。[12,13,14] さらにその結果を用いて$4$次元多様体のDonaldson不変量の性質を調べること を,ICTPのL. G\"ottsche氏を加えた共同研究で行った。[4,5] 以下,昨年度得た研究成果を簡単に紹介する。
・[10]モディファイされた量子アファイン展開環 が、Koenig-Xiの意味でのアファイン・セルラー代数であり、さらにセル・イデ アルが idempotentであることを証明した。前者は、Cui (arXiv:1405.6441) に より[1]を用いて証明されていたが、やや回りくどい議論であっ たものを、直接的に変えたものである。
・[2]$\mathbf R^4$上のゲージ群を G とするインスタントン のモジュライ空間を考え、そのUhlenbeck部分コンパクト化をとり、その同変交 叉コホモロジー群を考える。作用する群は G と二次元トーラス $T^2$ の積 である。この同変交叉コホモロジー群に、頂点作用素代数の例である W-代数 の表現の構造を構成した。(正確には、$\mathscr W$-代数の integral form を 導入し、それが同変交叉コホモロジー群に表現される。) ただし、今のところ 証明は G が ADE型の群の場合にしかできておらず、BCFG 型に拡張する ことは、残された課題である。
・[11]コンパクト・リー群 G と、その四元数体上の表 現 $\mathbf M$ が与えられたとき、物理学者は3次元のN=4超対称性ゲージ 理論とよばれる場の量子論を考え、特にそのゲージ理論のクーロン枝とよばれ る、超ケーラー多様体を研究していた。しかし、その定義には、「量子補正」 とよばれる数学的に厳密な取り扱いがなされていない手続きが含まれており、 クーロン枝の数学的な定義は与えられていなかった。そこで、数学的に厳密な 定義を与える試みを始めた。 まず、複素射影直線 $\mathbb P^1$から 超ケーラー商 $M /// G$ (ただし、スタック $\mu_{\mathbb C}^{-1}(0) // G_{\mathbf C}$ として扱う) への、ゲージ $\sigma$-模型をとり、そのモジュ ライ空間の、自然な消滅サイクルに係数を持つコホモロジー群を考える。その 次元を計算すると、物理学者のCremonesi, Hanany and Zaffaroni[3] が与えた クーロン枝の構造環の指標を与えると主 張されているモノポール公式と同じになることを証明した。 現在、このコホモロジー群(を若干修正したもの)に可換な積構造を定義し、こ れの Spectrum として、クーロン枝のアファイン・スキームとしての定義を与 えることをBraverman, Finkelbergと共同研究中である。
  1. J. Beck and H. Nakajima, Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras, Duke Math. J., 123 (2004), no. 2, 335--402.
  2. A. Braverman, M. Finkelberg, and H. Nakajima, Instanton moduli spaces and $\mathscr W$-algebras, ArXiv e-prints (2014), http://arxiv.org/abs/1406.2381 arXiv:1406.2381 [math.QA].
  3. S. Cremonesi, A. Hanany, and A. Zaffaroni, Monopole operators and Hilbert series of Coulomb branches of $3d$ $\mathcal{N} = 4$ gauge theories, JHEP 1401 (2014), 005, http://arxiv.org/abs/1309.2657 arXiv:1309.2657 [hep-th].
  4. L. G\"ottsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Instanton counting and Donaldson invariants, J. Differential Geom. 80 (2008), no.3, 343--390. MR2472477
  5. \L. G\"ottsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Donaldson = Seiberg-Witten from Mochizuki's formula and instanton counting, Publ. RIMS 47 (2011), no.1, 307--359.
  6. H. Nakajima, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J. 76 (1994), no.2, 365--416. MR1302318 (95i:53051)
  7. H. Nakajima, Quiver varieties and Kac-Moody algebras, Duke Math. J. 91 (1998), no.3, 515--560. MR1604167 (99b:17033)
  8. H. Nakajima, Quiver varieties and finite-dimensional representations of quantum affine algebras, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no.1, 145--238 (electronic). MR1808477 (2002i:17023)
  9. H. Nakajima, Quiver varieties and $t$-analogs of $q$-characters of quantum affine algebras, Ann. of Math. (2) 160 (2004), no.3, 1057--1097. MR2144973 (2006k:17029)
  10. H. Nakajima, Affine cellularity of quantum affine algebras, June 2014, http://arxiv.org/abs/1406.1298 arXiv:1406.1298 [math.QA].
  11. H. Nakajima, Towards a mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories, I, ArXiv e-prints (2015), http://arxiv.org/abs/1503.03676 arXiv:1503.03676 [math-ph].
  12. H. Nakajima and K. Yoshioka, Lectures on instanton counting, Algebraic structures and moduli spaces, CRM Proc. Lecture Notes, vol.38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 31--101. MR2095899 (2005m:14016)
  13. H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup. I. 4-dimensional pure gauge theory, Invent. Math. 162 (2005), no.2, 313--355. MR2199008 (2007b:14027a)
  14. H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup. II. $K$-theoretic partition function, Transform. Groups 10 (2005), no.3-4, 489--519. MR2183121 (2007b:14027b)