所員 -中島 啓-
名前
中島 啓 (Nakajima, Hiraku)
中島 啓 (Nakajima, Hiraku)
職
教授
教授
E-Mail
nakajima （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
nakajima （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
研究内容
表現論、代数幾何学、微分幾何学
表現論、代数幾何学、微分幾何学
紹 介
理論物理学に起源を持つ，4次元多様体上のインスタントン方程式の解のモジュ
ライ空間を研究することを中心テーマとしている。主に，4次元多様体が代数曲
面と仮定して，連接層をパラメトライズするモジュライ空間を代わりに調べる。
インスタントン方程式は非線形偏微分方程式であるために取扱いに難しいとこ
ろがあるのに対し，連接層は，代数幾何的な手法で取り扱うことが可能である
からである。
また，その代数曲面が，単純特異点の特異点解消である場合には，非可換環の
表現論を用いて研究することも可能であり，モジュライ空間を箙多様体
と名付けて細かく調べている。[4,5]
箙多様体の研究の成果の一つとして，そのコホモロジー群(正確には同変K群)に 量子ループ環の表現の構造が定義できることが分かり，これを用いて，指 標公式を導出した。[6,7] これは，箙多様体の理論を使わずに証明することが現在までのところできてい ない結果である。 また，この構成はLusztigによる量子展開環の標準基底の構成に起源を持つので， 標準基底の理論や，それと同じであることが知られている柏原の結晶基底にも 関心がある。[1]
また，$\mathbf R^4$上のインスタントンのモジュライ空間の上で，微分形式を 同変ホモロジーの意味で積分する，Nekrasovの分配関数の性質に興味を持って いる。特に$\mathbf R^4$の一点ブローアップの上のインスタントンのモジュラ イ空間との関係を，神戸大の吉岡康太氏との共同研究で詳しく調べ，分配関数 の持ついろいろな性質を導いた。[10,11,12] さらにその結果を用いて$4$次元多様体のDonaldson不変量の性質を調べること を，ICTPのL.Göttsche氏を加えた共同研究で行った。[2,3]
以下，昨年度得た研究成果を簡単に紹介する。
・$A$型の有限$W$代数が，箙多様体のある$\mathbf C^*$作 用に関する固定点集合のコホモロジー群に作用するという，Bravermanらの研究 を用いて，有限$W$代数の既約表現の指標を，箙多様体の固定点集合の交叉ホモ ロジーを用いて表す公式を証明した。[8]
・箙多様体から定義される合成積代数の上に余積を定義した。 [9]
・N.Guay氏との共同研究で，アファイン・リー代数 $\mathfrak g$ に対応するヤンギアン $Y(\mathfrak g)$ 上に余積を定義した。 有限次元リー代数に付随したヤンギアンに対しては，Drinfeldによって定義さ れていたが，そのためにはヤンギアンの別の表示式を用いる必要があり，この 表示式はアファイン・リー代数の場合には意味を持たなくなるので，まったく 別の議論が必要であった。(論文準備中)
箙多様体の研究の成果の一つとして，そのコホモロジー群(正確には同変K群)に 量子ループ環の表現の構造が定義できることが分かり，これを用いて，指 標公式を導出した。[6,7] これは，箙多様体の理論を使わずに証明することが現在までのところできてい ない結果である。 また，この構成はLusztigによる量子展開環の標準基底の構成に起源を持つので， 標準基底の理論や，それと同じであることが知られている柏原の結晶基底にも 関心がある。[1]
また，$\mathbf R^4$上のインスタントンのモジュライ空間の上で，微分形式を 同変ホモロジーの意味で積分する，Nekrasovの分配関数の性質に興味を持って いる。特に$\mathbf R^4$の一点ブローアップの上のインスタントンのモジュラ イ空間との関係を，神戸大の吉岡康太氏との共同研究で詳しく調べ，分配関数 の持ついろいろな性質を導いた。[10,11,12] さらにその結果を用いて$4$次元多様体のDonaldson不変量の性質を調べること を，ICTPのL.Göttsche氏を加えた共同研究で行った。[2,3]
以下，昨年度得た研究成果を簡単に紹介する。
・$A$型の有限$W$代数が，箙多様体のある$\mathbf C^*$作 用に関する固定点集合のコホモロジー群に作用するという，Bravermanらの研究 を用いて，有限$W$代数の既約表現の指標を，箙多様体の固定点集合の交叉ホモ ロジーを用いて表す公式を証明した。[8]
・箙多様体から定義される合成積代数の上に余積を定義した。 [9]
・N.Guay氏との共同研究で，アファイン・リー代数 $\mathfrak g$ に対応するヤンギアン $Y(\mathfrak g)$ 上に余積を定義した。 有限次元リー代数に付随したヤンギアンに対しては，Drinfeldによって定義さ れていたが，そのためにはヤンギアンの別の表示式を用いる必要があり，この 表示式はアファイン・リー代数の場合には意味を持たなくなるので，まったく 別の議論が必要であった。(論文準備中)
- J. Beck and H. Nakajima, Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras, Duke Math. J., 123 (2004), no. 2, 335--402.
- L. Göttsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Instanton counting and Donaldson invariants, J. Differential Geom., 80 (2008), no. 3, 343--390.
- L. Göttsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Donaldson = Seiberg-Witten from Mochizuki's formula and instanton counting, Publ. RIMS 47 (2011), no. 1, 307--359.
- H. Nakajima, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J., 76 (1994), no. 2, 365--416.
- H. Nakajima, Quiver varieties and Kac-Moody algebras, Duke Math. J., 91 (1998), no. 3, 515--560.
- H. Nakajima, Quiver varieties and finite-dimensional representations of quantum affine algebras, J. Amer. Math. Soc., 14 (2001), no. 1, 145--238.
- H. Nakajima, Quiver varieties and t-analogs of q-characters of quantum affine algebras, Ann. of Math., (2) 160 (2004), no. 3, 1057--1097.
- H. Nakajima, Handsaw quiver varieties and finite $W$-algebras, 2011, arXiv:1107.5073.
- H. Nakajima, Quiver varieties and tensor products, II, 2012.
- H. Nakajima and K. Yoshioka, Lectures on instanton counting, Algebraic structures and moduli spaces, CRM Proc. Lecture Notes, vol. 38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 31--101.
- H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup. I. 4-dimensional pure gauge theory, Invent. Math., 162 (2005), no. 2, 313--355.
- H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup. II. K-theoretic partition function, Transform. Groups 10 (2005), no. 3-4, 489--519.