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中西 賢次

名前 中西 賢次 (Nakanishi, Kenji)

教授

E-Mail kenji (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)

U R L

研究内容 偏微分方程式の研究

紹 介
私の研究分野は偏微分方程式の数学解析で,主な対象は非線形波動または非線形分散型と呼ばれる非線形偏微分方程式である。これらは,プラズマ・水面波・超流動・光ファイバーなど様々な物理的状況における,相互作用の強い波動の時空間発展を記述するもので,波の分散性と非線形相互作用の競合により色々な時間変化を現わすことができる。代表的なものは非線形 Schrödinger 方程式や KdV 方程式などが挙げられる。偏微分方程式の理論上もっとも基礎的な初期値問題の局所的可解性については,精密な線形および多重線形の関数評価式の整備によって,広範な方程式と関数空間を扱えるようになった。近年はそれに基づいて解の時間大域的様相の解析が進んでおり,典型的な解からそれらの複合的状況まで徐々に明らかにされつつある。私の近年の研究では一般解全体の様相を捉えることを目指し,特に,異なる典型的挙動の間の時間的遷移や,解空間の中での中間的状態の解析のため,技術開発と現象解明の両軸で研究を行っている。今後は力学系の観点に加えて確率的記述により全体像に近づくことを目論んでいる。下記論文リスト内の成果としては,散乱・ソリトン・爆発を含む解の時間大域挙動分類について,Schlag 達との9分類の結果をエネルギー臨界の Schrödinger 方程式に拡張した[4]。また,エネルギー臨界の波動方程式に対しては,基底状態ソリトン周りの中心(不)安定多様体とその近傍の大域挙動をエネルギー空間全体へ拡張した[10]。また,時間正方向の挙動について類似の3分類を与える不変多様体を,質量臨界 KdV 方程式に対して構成した[5]。更に,安定・不安定のソリトンを両方含む場合として,ポテンシャル付き非線形 Schrödinger 方程式の小質量球対称解について,第1励起エネルギーを少し超える範囲まで9分類した[2,3]。これは安定ソリトンとの無限時間相互作用で大域的分散成分が受ける影響を解析上克服した所がポイントである。一方,これらの大域解析を物理的に自然な低次非線形項に拡張すべく,一般の球対称 Fourier 積の方程式に対して球面平均の Strichatz 評価を導き,3次元非線形 Schrödinger 方程式の平面波解の球対称エネルギー摂動に対する漸近安定性を示した[1]。他には4次元の Zakharov 系に対して,エネルギー空間での可解性と散乱理論のため,2つの異なる空間での可解性と弱極限を組合わせた新しい論法を開発した[7]。非線形分散型以外に[9]では Trudinger-Moser 不等式を全平面の Schrödinger 型エネルギー制約下で調べ,有界性とコンパクト性に対する非線形項の必要十分条件を導出し,臨界増大度が有界領域の二乗指数関数から多項式で2次下がる事を示した。
  1. Zihua Guo, Zaher Hani and Kenji Nakanishi, "Scattering for the 3D Gross-Pitaevskii Equation". Comm. Math. Phys. 359 (2018), no. 1, 265-295.
  2. Kenji Nakanishi, "Global dynamics above the first excited energy for the nonlinear Schrödinger equation with a potential". Comm. Math. Phys. 354 (2017), no. 1, 161-212.
  3. Kenji Nakanishi, "Global dynamics below excited solitons for the nonlinear Schrödinger equation with a potential". J. Math. Soc. Japan 69 (2017), no. 4, 1353-1401.
  4. Kenji Nakanishi and Tristan Roy, "Global dynamics above the ground state for the energy-critical Schrödinger equation with radial data". Commun. Pure Appl. Anal. 15 (2016), no. 6, 2023-2058.
  5. Yvan Martel, Frank Merle, Kenji Nakanishi and Pierre Raphaël, "Codimension one threshold manifold for the critical gKdV equation". Comm. Math. Phys. 342 (2016), no. 3, 1075-1106.
  6. Dan-Andrei Geba, Kenji Nakanishi and Xiang Zhang, "Sharp global regularity for the 2+1-dimensional equivariant Faddeev model". Int. Math. Res. Not. IMRN (2015) no. 22, 11549-11565.
  7. Ioan Bejenaru, Zihua Guo, Sebastian Herr and Kenji Nakanishi, "Well-posedness and scattering for the Zakharov system in four dimensions". Anal. PDE 8 (2015), no. 8, 2029-2055.
  8. Chongsheng Cao, Slim Ibrahim, Kenji Nakanishi and Edriss S. Titi, "Finite-time blowup for the inviscid primitive equations of oceanic and atmospheric dynamics". Comm. Math. Phys. 337 (2015), no. 2, 473-482.
  9. Slim Ibrahim, Nader Masmoudi and Kenji Nakanishi, "Trudinger-Moser inequality on the whole plane with the exact growth condition". J. Eur. Math. Soc. 17 (2015), no. 4, 819-835.
  10. Joachim Krieger, Kenji Nakanishi and Wilhelm Schlag, "Center-stable manifold of the ground state in the energy space for the critical wave equation". Math. Ann. 361 (2015), no. 1-2, 1-50.

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