所員 -中山 昇-

名前 中山 昇 (Nakayama, Noboru)
准教授
E-Mail nakayama (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 代数多様体・複素多様体の研究
紹 介
 代数多様体や複素多様体の双有理幾何学を研究している。 小平次元,多重種数,不正則数,代数次元などの双有理不変量 を用いて多様体の構造を解明している。 このうち標準因子に関係する不変量を特に 重視している。標準因子についてのアバンダンス予想は 飯高加法性予想などを導き,双有理幾何学の中心問題と考えられる。 このような不変量の研究や,双有理幾何学上重要と思われる多様体の具体的構造に 興味があり,ザリスキ分解など代数多様体の因子の数値的性質に関わる研究や, 楕円ファイバー空間,トーラスファイバー空間の構造についての研究などを行ってきた。 近年は主に以下のテーマ (1),(2) についての研究が多い。
 (1) 全射だが同型でない自己正則写像をもつ多様体の分類: コンパクト非特異曲面の場合は,標数ゼロの代数曲面だけでなく一般の複素解析的 曲面の場合にも分類が完成している [2]。 また小平次元が非負の3次元非特異射影代数多様体についても, その構造が解明できた [3]。これらは藤本圭男氏との共同研究で得られた。 その他,エタールな自己正則写像や偏極構造を保つ 自己正則写像の一般論について,D.-Q. Zhang 氏との 共同研究 [5],[6] もある。 ただし,論文 [6] に必要だった ``intersection sheaf'' についての理論は [7] で用意した。 ピカール数1の非特異ファノ多様体が同型以外の全射自己正則写像を持てば, その多様体は射影空間に限るという予想についての部分的結果が,J.-M. Hwang 氏との共同研究 [9] で得られている。 またテーマ (2) と関連するが, 同型でない全射自己正則写像をもつ曲面について,標数ゼロで 正規射影的曲面の場合についての論文が,現在準備中である。 正標数の場合は,自己正則写像に分離的という条件を課すが, この場合の非特異射影的曲面の構造を論文 [8] で調べた。 正標数特有の現象もあるが, 特に小平次元が非負の場合は,その曲面の構造を決定できた。
 (2) ある種の曲面の分類と構成: 石井雄二氏との共同研究により,有理二重点以外の特異点を持つ (3次元射影空間内の) 正規4次曲面の幾何学的分類がなされた [1]。そこで使われた手法の応用によって, 指数 (2) の対数的デルペッツォ曲面の任意標数での分類に成功した [4]。 標数ゼロの場合,同様の分類が,K3曲面と格子の理論を用いて Alexeev--Nikulin によりなされているが,これとは全く手法が異なる。 三年前から Y. Lee 氏と共同で,種数ゼロで単連結な一般型曲面を 特殊な特異有理曲面から $\mathbb{Q}$ ゴレンスタイン変形によって構成する,という Lee--Park の方法を正標数に拡張する研究を始めた。ほんの少しの例外を除いて, ほぼすべての代数閉体上に,代数的エタール基本群が自明で 種数ゼロの一般型極小曲面が (1 \leq K^2 \leq 4) の範囲で構成できた [10]。 また標数に無関係な $\mathbb{Q}$ ゴレンスタイン変形の一般論を現在構築中である。
  1. (with Y. Ishii) Classification of normal quartic surfaces with irrational singularities, J. Math. Soc. Japan 56 (2004), 941--965.
  2. (with Y. Fujimoto) Compact complex surfaces admitting non-trivial surjective endomorphisms, Tohoku Math. J. 57 (2005), 395--426.
  3. (with Y. Fujimoto) Endomorphisms of smooth projective 3-folds with nonnegative Kodaira dimension, II, J. Math. Kyoto Univ. 47 (2007), 79--114.
  4. Classification of log del Pezzo surfaces of index two, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 14 (2007), 293--498.
  5. (with D.-Q. Zhang) Building blocks of étale endomorphisms of complex projective manifolds, Proc. London Math. Soc., 99 (2009), 725--756.
  6. (with D.-Q. Zhang) Polarized endomorphisms of complex normal varieties, Math. Ann. 346 (2010), 991--1018.
  7. Intersection sheaves over normal schemes, J. Math. Soc. Japan, 62 (2010), 487--595.
  8. Separable endomorphisms of surfaces in positive characteristic, Algebraic Geometry in East Asia -- Seoul 2008, pp.301--330, Adv. Stud. in Pure Math. 60 (2010).
  9. (with J.-M. Hwang) On endomorphisms of Fano manifolds of Picard number one, Pure and Appl. Math. Quarterly. 7 (2011), 1407--1426.
  10. (with Y. Lee) Simply connected surfaces of general type in positive characteristic via deformation theory, Proc. London Math. Soc. 106 (2013), 225--286.