所員 -中山 昇-

名前 中山 昇 (Nakayama, Noboru)
准教授
E-Mail nakayama (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 代数多様体・複素多様体の研究
紹 介
 代数多様体や複素多様体の双有理幾何学を研究している。 小平次元,多重種数,不正則数,代数次元などの双有理不変量 を用いて多様体の構造を解明している。 このうち標準因子に関係する不変量を特に 重視している。標準因子についてのアバンダンス予想は 飯高加法性予想などを導き,双有理幾何学の中心問題と考えられる。 このような不変量の研究や,双有理幾何学上重要と思われる多様体の具体的構造に 興味があり,ザリスキ分解など代数多様体の因子の数値的性質に関わる研究や, 楕円ファイバー空間,トーラスファイバー空間の構造についての研究などを行ってきた。 近年は主に以下のテーマ (1),(2) についての研究が多い。
 (1) 全射だが同型でない自己正則写像をもつ多様体の分類: コンパクト非特異曲面の場合は,標数ゼロの代数曲面だけでなく一般の複素解析的 曲面の場合にも分類が完成している [2]。 また小平次元が非負の $3$ 次元非特異射影代数多様体についても, その構造が解明できた [3]。これらは藤本圭男氏との共同研究で得られた。 その他,エタールな自己正則写像や偏極構造を保つ 自己正則写像についての D.-Q.~Zhang 氏との 共同研究 [5],[6] や,ピカール数 $1$ の非特異ファノ多様体の場合についての J.-M.~Hwang 氏との共同研究 [8] がある。 またテーマ (2) と関連するが, 同型でない全射自己正則写像をもつ曲面についても 研究している。 標数ゼロで正規射影的曲面の場合については, 少なくとも非有理曲面の場合にはその構造が解明できた (論文は準備中)。 正標数の場合,自己正則写像に分離的という条件を課して,非特異射影的曲面の構造を調べた [7]。
 (2) ある種の曲面の分類と構成: 石井雄二氏との共同研究により,有理二重点以外の特異点を持つ (3次元射影空間内の) 正規4次曲面の幾何学的分類がなされた [1]。そこで使われた手法の応用によって, 指数 \(2\) の対数的デルペッツォ曲面の任意標数での分類に成功した [4]。 数年前から Y.~Lee 氏と共同で,種数ゼロで単連結な一般型曲面を 特殊な特異有理曲面から $\mathbb{Q}$ ゴレンスタイン変形によって構成する,という Lee--Park の方法を正標数に拡張する研究を始めた。ほんの少しの例外を除いて, ほぼすべての代数閉体上に,代数的エタール基本群が自明で 種数ゼロの一般型極小曲面が \(1 \leq K^2 \leq 4\) の範囲で構成できた [9]。 また標数に無関係な $\mathbb{Q}$ ゴレンスタイン変形の一般論を現在構築中である。 最近,Shokurov のトーリック曲面判定法の条件を緩めることで「不足数1の擬トーリック曲面」 と「半トーリック曲面」の判定法を得ることができた (論文は準備中)。 前者の曲面にしかるべき全射自己正則写像があるか否かという問題が, テーマ (1) の正規射影的有理曲面の研究に関係する。
  1. (with Y. Ishii) Classification of normal quartic surfaces with irrational singularities, J. Math. Soc. Japan 56 (2004), 941--965.
  2. (with Y. Fujimoto) Compact complex surfaces admitting non-trivial surjective endomorphisms, Tohoku Math. J. 57 (2005), 395--426.
  3. (with Y. Fujimoto) Endomorphisms of smooth projective 3-folds with nonnegative Kodaira dimension, II, J. Math. Kyoto Univ. 47 (2007), 79--114.
  4. Classification of log del Pezzo surfaces of index two, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 14 (2007), 293--498.
  5. (with D.-Q. Zhang) Building blocks of étale endomorphisms of complex projective manifolds, Proc. London Math. Soc., 99 (2009), 725--756.
  6. (with D.-Q. Zhang) Polarized endomorphisms of complex normal varieties, Math. Ann. 346 (2010), 991--1018.
  7. Separable endomorphisms of surfaces in positive characteristic, Algebraic Geometry in East Asia -- Seoul 2008, pp.301--330, Adv. Stud. in Pure Math. 60 (2010).
  8. (with J.-M. Hwang) On endomorphisms of Fano manifolds of Picard number one, Pure and Appl. Math. Quarterly. 7 (2011), 1407--1426.
  9. (with Y. Lee) Simply connected surfaces of general type in positive characteristic via deformation theory, Proc. London Math. Soc. 106 (2013), 225--286.