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中山 昇

名前 中山 昇 (Nakayama, Noboru)

准教授

E-Mail nakayama (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)

U R L

研究内容 代数多様体・複素多様体の研究

紹 介

 代数多様体や複素多様体の双有理幾何学を研究している。 小平次元,多重種数,不正則数,代数次元などの双有理不変量 を用いて多様体の構造を解明している。 このうち標準因子に関係する不変量を特に 重視している。標準因子についてのアバンダンス予想は 飯高加法性予想などを導き,双有理幾何学の中心問題と考えられる。 このような不変量の研究や,双有理幾何学上重要と思われる多様体の具体的構造に 興味があり,ザリスキ分解など代数多様体の因子の数値的性質に関わる研究 [3] や, 楕円ファイバー空間 の構造についての研究 [1],[2] などを行ってきた。 この十数年は主に以下のテーマ (1),(2) についての研究が多い。
(1) 全射だが同型でない自己正則写像をもつ多様体の分類: コンパクト非特異複素解析的曲面や小平次元が非負の3次元非特異射影代数多様体の場合の分類は、 藤本圭男氏との共同研究で得られている。 エタールな自己正則写像や偏極構造を保つ 自己正則写像について場合には D.-Q.Zhang 氏との 共同研究 [5],[6] があり,ピカール数1の非特異ファノ多様体の場合については J.-M.Hwang 氏との共同研究 [7] がある。 またテーマ (2) と関連するが, 同型でない全射自己正則写像をもつ正規射影的曲面についても 研究している。
(2) ある種の曲面の分類と構成: 指数 (2) の対数的デルペッツォ曲面について、任意標数の場合の幾何学的分類に成功した [4]。 種数ゼロで単連結な一般型曲面を 特殊な特異有理曲面から $\mathbb{Q}$ ゴレンシュタイン変形によって構成する,という
Lee--Park の方法を正標数に拡張する研究を, Y.Lee 氏と共同で行った [8]。 その後,共著論文 [10] では 局所ネータースキームの $\mathbb{Q}$ ゴレンシュタイン射を定義し, その性質を調べた。 現在はそれに関連する, 同変変形や同変コホモロジーについて研究している。 テーマ (1) の正規射影的有理曲面の研究に関係する 「不足数1の擬トーリック曲面」と「半トーリック曲面」の判定法が Shokurov のトーリック曲面判定法の条件を緩めることで得られた [9]。

  1. Local structure of an elliptic fibration, Higher Dimensional Birational Geometry, pp.185--296, Adv. Stud. Pure Math., 35, Math. Soc. Japan, 2002.
  2. Global structure of an elliptic fibration, Publ. RIMS. Kyoto Univ., 38 (2002), 451--649.
  3. Zariski-decomposition and Abundance, MSJ Memoirs 14, Math. Soc. Japan, 2004.
  4. Classification of log del Pezzo surfaces of index two, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 14 (2007), 293--498.
  5. (with D.-Q. Zhang) Building blocks of étale endomorphisms of complex projective manifolds, Proc. London Math. Soc., 99 (2009), 725--756.
  6. (with D.-Q. Zhang) Polarized endomorphisms of complex normal varieties, Math. Ann., 346 (2010), 991--1018.
  7. (with J.-M. Hwang) On endomorphisms of Fano manifolds of Picard number one, Pure and Applied Math. Quarterly, 7 (2011), 1407--1426.
  8. (with Y. Lee) Simply connected surfaces of general type in positive characteristic via deformation theory, Proc. London Math. Soc., 106 (2013), 225--286.
  9. A variant of Shokurov's criterion of toric surface, Algebraic Varieties and Automorphism Groups, pp.287--392, Adv. Stud. in Pure Math., 75, Math. Soc. Japan, 2017.
  10. (with Y. Lee) Grothendieck duality and $\mathbb{Q}$-Gorenstein morphisms, preprint, 2016 (RIMS-1861, arXiv:1612.01690v1), to appear.

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)