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大槻 知忠

名前 大槻 知忠 (Ohtsuki, Tomotada)

教授

E-Mail tomotada (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 位相幾何学

紹 介

 結び目と3次元多様体の不変量について研究している。
1980年代以来,Chern-Simons 理論にもとづいて 膨大な数の不変量(量子不変量)が発見され,不変量の研究,すなわち, 結び目の集合と3次元多様体の集合の研究という新しい研究領域 (量子トポロジー)がもたらされた。 この20年間のこの分野の研究の主な動機は Chern-Simons 場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解することにあっ たが, この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究により その作業はほぼ完了し,今後のこの分野の研究は, そのようにして得られた膨大な数の不変量を研究の基礎として, さまざまな新しい研究の方向性を創出するべき段階にある。 この分野の今後のよりよい方向性を考える,という観点から,筆者は 未解決問題集[9,10]を編集したが, 未解決問題の中でも「同変不変量」「体積予想」「数論との関連」 などが今後の発展のために重要ではないかと筆者は考えている。
「体積予想」は,双曲結び目のKashaev不変量 (この不変量は1のN乗根における結び目の色つきJones多項式に等しい) の極限に双曲体積が現れることを主張する予想である。 1970年代にはじまった双曲幾何の研究と 1980年代にはじまった量子トポロジーの研究は,それぞれ別々に発展してきたが, 体積予想はこれらの研究領域を結び付ける重要な予想である。 筆者はKashaev不変量の漸近展開を 比較的簡単ないくつかの双曲結び目について具体的に計算し, それらの場合について体積予想が成り立つことを証明した。 また、その漸近挙動の第2項(準古典極限の項)は Reidemeister torsion であるとおもわれ、 筆者は多くの結び目でこれを確認した。 さらに高次の項は未知のべき級数不変量になっているようである。 また、最近、閉3次元双曲多様体の量子不変量に対しても 体積予想が定式化され、 筆者はいくつかの3次元多様体に対して その体積予想が成り立つことを証明した。 3次元双曲多様体上の Chern-Simons 理論に関連する 3次元双曲多様体の不変量には、 解明されるべき未知の課題が多いとおもわれ、 それらについて調べることをめざす。

  1. (with Thang T. Q. Le, Takahito Kuriya) The perturbative invariants of rational homology 3-spheres can be recovered from the LMO invariant, J Topology 5 (2012) 458--484.
  2. (with T. Takata) On the Kashaev invariant and the twisted Reidemeister torsion of two-bridge knots, Geometry and Topology 19 (2015) 853--952.
  3. On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the $5_2$ knot, Quantum Topology 7 (2016) 669--735.
  4. (with Y. Yokota) On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the knots with 6 crossings, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 165 (2018) 287--339.
  5. On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the hyperbolic knots with seven crossings, Internat. J. Math. 28 (2017), no. 13, 1750096, 143 pp.
  6. On the asymptotic expansion of the quantum SU(2) invariant at $q = exp(4 \pi \sqrt{-1}/N)$ for closed hyperbolic 3-manifolds obtained by integral surgery along the figure-eight knot, Algebraic & Geometric Topology 18 (2018) 4187--4274.
  7. Quantum invariants, --- A study of knots, 3-manifolds, and their sets, Series on Knots and Everything, 29. World Scientific Publishing Co., Inc., 2002
  8. 大槻知忠, 「結び目の不変量」, 共立出版, 2015年.
  9. T. Ohtsuki (ed.), Problems on invariants of knots and 3-manifolds, Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto 2001), 377--572, Geom. Topol. Monogr. 4, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2004.
  10. T. Ohtsuki (ed.), Problems on Low-dimensional Topology 2018, RIMS Kokyuroku 2099 (2018) 105--118.

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)