所員 -大槻 知忠-

名前 大槻 知忠 (Ohtsuki, Tomotada)
教授
E-Mail tomotada (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 位相幾何学
紹 介
 結び目と3次元多様体の不変量について研究している。
 1980年代以来,Chern-Simons 理論にもとづいて 膨大な数の不変量(量子不変量)が発見され,不変量の研究,すなわち, 結び目の集合と3次元多様体の集合の研究という新しい研究領域がもたらされた。 この20年間のこの分野の研究の主な動機は Chern-Simons 場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解することにあっ たが, この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究により その作業はほぼ完了し,今後のこの分野の研究は, そのようにして得られた膨大な数の不変量を研究の基礎として, さまざまな新しい研究の方向性を創出するべき段階にある。 この分野の今後のよりよい方向性を考える,という観点から,筆者は 未解決問題集[9,10]を編集したが, 未解決問題の中でも「同変不変量」「体積予想」「数論との関連」 などが今後の発展のために重要ではないかと筆者は考えている。
 「体積予想」は,双曲結び目のKashaev不変量 (この不変量は1のN乗根における結び目の色つきJones多項式に等しい) の極限に双曲体積が現れることを主張する予想である。 1970年代にはじまった双曲幾何の研究と 1980年代にはじまった量子トポロジーの研究は,それぞれ別々に発展してきたが, 体積予想はこれらの研究領域を結び付ける重要な予想である。 最近,筆者はKashaev不変量の漸近展開を 比較的簡単ないくつかの双曲結び目について具体的に計算し, それらの場合について体積予想が成り立つことを確認した。 また、その漸近挙動の第2項(準古典極限の項)は Reidemeister torsion であるとおもわれ、 筆者は多くの結び目でこれを確認した。 さらに高次の項は未知のべき級数不変量になっているようである。 これらの不変量について,さらに詳しく調べることをめざす。 また,筆者は「結び目の不変量」について著書を執筆中であり、 この著書の執筆をすすめる。
  1. The perturbative SO(3) invariant of rational homology 3-spheres recovers from the universal perturbative invariant, Topology 39 (2000) 1103--1135.
  2. A cabling formula for the 2-loop polynomial of knots, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004) 949--971.
  3. On the 2-loop polynomial of knots, Geometry and Topology 11 (2007) 1357--1475.
  4. Perturbative invariants of 3-manifolds with the first Betti number 1, Geometry and Topology 14 (2010) 1993--2045.
  5. (with Thang T. Q. Le, Takahito Kuriya) The perturbative invariants of rational homology 3-spheres can be recovered from the LMO invariant, J Topology 5 (2012) 458--484.
  6. On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the $5_2$ knot}, preprint.
  7. (with T. Takata) On the Kashaev invariant and the twisted Reidemeister torsion of two-bridge knots, preprint, 2013. RIMS-1785.
  8. Quantum invariants, --- A study of knots, 3-manifolds, and their sets, Series on Knots and Everything, 29. World Scientific Publishing Co., Inc., 2002
  9. T. Ohtsuki (ed.), Problems on invariants of knots and 3-manifolds, Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto 2001), 377--572, Geom. Topol. Monogr. 4, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2004.
  10. T. Ohtsuki (ed.), Problems on Low-dimensional Topology 2013, RIMS Kokyuroku 1866 (2013) 135--148.