所員 -大槻 知忠-

名前 大槻 知忠 (Ohtsuki, Tomotada)
教授
E-Mail tomotada (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 位相幾何学
紹 介
 結び目と3次元多様体の不変量について研究している。
 1980年代以来,Chern-Simons 理論にもとづいて 膨大な数の不変量(量子不変量)が発見され,不変量の研究,すなわち, 結び目の集合と3次元多様体の集合の研究という新しい研究領域がもたらされた。 この20年間のこの分野の研究の主な動機は Chern-Simons 場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解することにあっ たが, この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究により その作業はほぼ完了し,今後のこの分野の研究は, そのようにして得られた膨大な数の不変量を研究の基礎として, さまざまな新しい研究の方向性を創出するべき段階にある。 この分野の今後のよりよい方向性を考える,という観点から,筆者は 未解決問題集[9,10]を編集したが, 未解決問題の中でも「同変不変量」「体積予想」「数論との関連」 などが今後の発展のために重要ではないかと筆者は考えている。
 「体積予想」は,双曲結び目のKashaev不変量 (この不変量は1のN乗根における結び目の色つきJones多項式に等しい) の極限に双曲体積が現れることを主張する予想である。 1970年代にはじまった双曲幾何の研究と 1980年代にはじまった量子トポロジーの研究は,それぞれ別々に発展してきたが, 体積予想はこれらの研究領域を結び付ける重要な予想である。 最近,筆者はKashaev不変量の漸近展開を 比較的簡単ないくつかの双曲結び目について具体的に計算し, それらの場合について体積予想が成り立つことを確認した。 それらの場合について,その漸近挙動は, 主要項が双曲体積で記述され,準古典極限が Reidemeister torsion で記述され, さらに高次の部分が未知のべき級数不変量になっているようである。 これらの不変量について,さらに詳しく調べることをめざす。 また,筆者は比較的簡単な双曲結び目について, その双曲構造方程式の有限体での解の個数を無限個の有限体で計算し, 合同ゼータ関数を求めた。これらの研究を発展させることをめざす。
  1. The perturbative SO(3) invariant of rational homology 3-spheres recovers from the universal perturbative invariant, Topology 39 (2000) 1103--1135.
  2. A cabling formula for the 2-loop polynomial of knots, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004) 949--971.
  3. On the 2-loop polynomial of knots, Geometry and Topology 11 (2007) 1357--1475.
  4. Invariants of knots derived from equivariant linking matrices of their surgery presentations, Internat. J. Math. 20 (2009) 883--913.
  5. Perturbative invariants of 3-manifolds with the first Betti number 1, Geometry and Topology 14 (2010) 1993--2045.
  6. (with Thang T. Q. Le, Takahito Kuriya) The perturbative invariants of rational homology 3-spheres can be recovered from the LMO invariant, J Topology 5 (2012) 458--484.
  7. On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the $5_2$ knot}, preprint.
  8. Quantum invariants, --- A study of knots, 3-manifolds, and their sets, Series on Knots and Everything, 29. World Scientific Publishing Co., Inc., 2002.
  9. T. Ohtsuki (ed.), Problems on invariants of knots and 3-manifolds, Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto 2001), 377--572, Geom. Topol. Monogr. 4, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2004.
  10. T. Ohtsuki (ed.), Problems on Low-dimensional Topology 2012, RIMS Kokyuroku 1812 (2012) 119--135.