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小澤 登高

名前 小澤 登高 (Ozawa, Narutaka )

教授

E-Mail narutaka (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 作用素環と離散群の研究

紹 介

 私は作用素環と離散群の関わりを研究している。(離散)群とは,任意の対象の対称性を記述するための数学言語である。例えば,ある結晶が与えられたとき,その結晶構造を変えない変換(回転操作,鏡映操作,反転操作など)全体を考えたものが群である。人間には線形的な構造の方が理解しやすいので,群の各要素を適当な(線形)空間上の作用素とみなして取り扱うことにする。さらに,そうした作用素全体が生成する代数系を考え,適当な位相で完備化すれば作用素環と呼ばれる対象ができる。(考える位相の違いにより, C*環とvon Neumann環の二種類が存在する。)位相の存在により,群論のような代数的な問題に対しても解析的なテクニックを使えるところが作用素環論の特徴である。作用素環の研究はそもそもは,John von Neumannが量子力学の数学的取り扱いを目指して始めたものであったが,現在では数理物理だけでなく,群論やエルゴード理論などに幅広い応用がある。私の研究は双方向的で,これらの分野への作用素環論の応用とその逆を同時に扱っている。伝統的な作用素環論の他にも,作用素論,Banach環論,Banach空間論,群表現の摂動理論,離散距離幾何学等の研究を行っている。
近年は「関数解析的群論」の標語のもと,(関数)解析的手法を使って群の代数的・幾何学的な構造を調べることに注力している。Breuillard,Kalantar,Kennedyとの共同研究[3]では,群C*環の構造を調べることにより40年来懸案の問題を解決し,その応用として群のコンパクト位相空間への極小作用が自由になるための(必要)十分条件を見つけることが出来た。また,多項式的増大度を持つ群はほとんど冪零であるという著名なGromovの定理に関数解析に基づく極めて簡明な別証明を付けた[4]。これを発展させたErschlerとの共同研究[5]では,群が無限巡回群へ全射準同型を持つ有限指数部分群を持つための扱いやすい十分条件を群上のランダムウォークの言葉で表すことに成功している。他にもDe Chiffre及びThomと共同で従順群の概表現の研究を行い,Gowersらの定理を大幅に一般化する結果を得た[6]。また離散群論における非可換実代数幾何学的な研究を推進し,Kazhdanの性質(T)の純代数学的な特徴づけを得た[1].Kaluba,Nowakとの共同研究ではその特徴づけを確認するためのアルゴリズムを電子計算機で実装することにより,自由群の自己同型群Aut(F_5)がKazhdanの性質(T)を持つことを数学的厳密さをもって示した[8]。Aut(F_5)がKazhdanの性質(T)を持つか否かは幾何学的群論における長年懸案の問題であった。

  1. N. P. Brown and N. Ozawa; C^*-algebras and finite-dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, 88. American Mathematical Society, 2008, 509 pp.
  2. N. Ozawa; Noncommutative real algebraic geometry of Kazhdan's property (T). J. Inst. Math. Jussieu, 15 (2016), 85--90.
  3. R. Okayasu, N. Ozawa, and R. Tomatsu; Haagerup approximation property via bimodules. Math. Scand., 121 (2017), 75--91.
  4. E. Breuillard, M. Kalantar, M. Kennedy, and N. Ozawa; $\mathrm{C}^*$-simplicity and the unique trace property for discrete groups. Publ. Math. Inst. Hautes \'Etudes Sci., 126 (2017), 35--71.
  5. N. Ozawa; A functional analysis proof of Gromov's polynomial growth theorem. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 51 (2018), 549--556.
  6. A. Erschler and N. Ozawa; Finite-dimensional representations constructed from random walks. Comment. Math. Helv., 93 (2018), 555--586.
  7. M. De Chiffre, N. Ozawa, and A. Thom; Operator algebraic approach to inverse and stability theorems for amenable groups. Mathematika, 65 (2019), 98--118.
  8. M. Anoussis, N. Ozawa, and I. G. Todorov; Norms of vector functionals. Proc. Amer. Math. Soc., 147 (2019), 2057--2068.
  9. M. Kaluba, P. Nowak, and N. Ozawa; Aut(F_5) has property (T). Math. Ann., 375 (2019), 1169--1191.
  10. M. Mori, N. Ozawa; Mankiewicz's theorem and the Mazur--Ulam property for C*-algebras. Studia Math., 250 (2020), 265--281.

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)