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小澤 登高

名前 小澤 登高 (Ozawa, Narutaka )

教授

E-Mail narutaka (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 作用素環と離散群の研究

紹 介

 私は作用素環と離散群の関わりを研究している。(離散)群とは, 任意の対象の対称性を記述するための数学言語である。例えば, ある結晶が与えられたとき,その結晶構造を変えない変換(回転操作, 鏡映操作,反転操作など)全体を考えたものが群である。 人間には線形的な構造の方が理解しやすいので, 群の各要素を適当な(線形)空間上の作用素とみなして取り扱うことにする。 さらに,そうした作用素全体が生成する代数系を考え, 適当な位相で完備化すれば作用素環と呼ばれる対象ができる。 (考える位相の違いにより, $\mathrm{C}^*$環とvon Neumann環の二種類が存在する。) 位相の存在により,群論のような代数的な問題に対しても 解析的なテクニックを使えるところが作用素環論の特徴である。 作用素環の研究はそもそもは, John von Neumannが量子力学の数学的取り扱いを目指して始めたものであったが, 現在では数理物理だけでなく,群論やエルゴード理論などに幅広い応用がある。 私の研究は双方向的で,これらの分野への作用素環論の応用と その逆を同時に扱っている。 伝統的な作用素環論の他にも,作用素論,Banach環論,Banach空間論,群表現の摂動理論,離散距離幾何学等の研究を行っている。
現在の作用素環論において最も重要な未解決問題は「Connesの埋め込み予想」である。 この予想は任意のvon Neumann環が適当な意味で有限次元環で近似できるというものである。この予想をConnesが述べた時点(1970年代半ば)ではvon Neumann環の技術的な問題に過ぎなかったが,その後,作用素環論におけるいくつかの見掛けの全く異なる重要予想と同値であることが判明している。私はこの予想に対する新たなアプローチを研究し,この予想が量子情報理論におけるTsirelson問題と同値であることを示した[1]。Tsirelson問題は,2人の独立した観測者の間に起こりうる量子相関に対する2つの異なる定式化が実は一致するという予想である。これまでの研究により,この予想は本質的には自由群$F_r$の直積群$F_r\times F_r$のユニタリ表現に関する問題であるということが明らかになっている。さらに,上記のConnesの埋め込み予想は非可換実代数幾何学におけるある予想と同値であることが知られているが[1],私は非可換実代数幾何学を利用して,離散群$G$の実群環${\mathbb R}[G]$や群$G$そのものを研究している[1,3]。非可換実代数幾何学は最近研究され始めた分野であって,実群環などの非可換実代数における等式や不等式などを扱う分野である。その表現論を通して作用素環論を利用できるところが私にとっての魅力である。
近年は「関数解析的群論」の標語のもと,(関数)解析的手法を使って群の代数的・幾何学的な構造を 調べることに注力している.Breuillard,Kalantar,Kennedyとの共同研究[7]では 群$\mathrm{C}^*$環の構造を 調べることにより40年来懸案の問題を解決し,その応用として群のコンパクト位相空間への極小作用が 自由になるための(必要)十分条件を見つけることが出来た. 他にも,多項式的増大度を持つ群はほとんど冪零であるという著名なGromovの定理に 関数解析に基づく極めて簡明な別証明を付けた[8]. これを発展させたErschlerとの共同研究[9]では, 群が無限巡回群へ全射準同型を持つ有限指数部分群を持つための扱いやすい 十分条件を群上のランダムウォークの言葉で表すことに成功している.

  1. N. P. Brown and N. Ozawa; C^*-algebras and finite-dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, 88. American Mathematical Society, 2008, 509 pp.
  2. M. Mimura, N. Ozawa, H. Sako, and Y. Suzuki; Group approximation in Cayley topology and coarse geometry, Part III: Geometric property (T). Algebr. Geom. Topol., 15 (2015) 1067--1091.
  3. N. Ozawa, M. R{\o}rdam, and Y. Sato; Elementary amenable groups are quasidiagonal. Geom. Funct. Anal., 25 (2015), 307--316.
  4. N. Ozawa and G. Pisier; A continuum of $\mathrm{C}^*$-norms on $B(H) \otimes B(H)$ and related tensor products. Glasg. Math. J., 58 (2016), 433--443.
  5. N. Ozawa; Noncommutative real algebraic geometry of Kazhdan's property (T). J. Inst. Math. Jussieu, 15 (2016), 85--90.
  6. N. Ozawa; A remark on fullness of some group measure space von Neumann algebras. Compos. Math., 152 (2016), 2493--2502.
  7. R. Okayasu, N. Ozawa, and R. Tomatsu; Haagerup approximation property via bimodules. Math. Scand., 121 (2017), 75--91.
  8. E. Breuillard, M. Kalantar, M. Kennedy, and N. Ozawa; $\mathrm{C}^*$-simplicity and the unique trace property for discrete groups. Publ. Math. Inst. Hautes \'Etudes Sci., 126 (2017), 35--71.
  9. N. Ozawa; A functional analysis proof of Gromov's polynomial growth theorem. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), accepted.
  10. A. Erschler and N. Ozawa; Finite-dimensional representations constructed from random walks. Comment. Math. Helv., accepted.

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)