所員 -小澤 登高-

名前 小澤 登高 (Ozawa, Narutaka )
教授
E-Mail narutaka (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 作用素環と離散群の研究
紹 介
 私は作用素環と離散群の関わりを研究している。(離散)群とは, 任意の対象の対称性を記述するための数学言語である。例えば, ある結晶が与えられたとき,その結晶構造を変えない変換(回転操作, 鏡映操作,反転操作など)全体を考えたものが群である。 人間には線形的な構造の方が理解しやすいので, 群の各要素を適当な(線形)空間上の作用素とみなして取り扱うことにする。 さらに,そうした作用素全体が生成する代数系を考え, 適当な位相で完備化すれば作用素環と呼ばれる対象ができる。 (考える位相の違いにより, $\mathrm{C}^*$環とvon Neumann環の二種類が存在する。) 位相の存在により,群論のような代数的な問題に対しても 解析的なテクニックを使えるところが作用素環論の特徴である。 作用素環の研究はそもそもは, John von Neumannが量子力学の数学的取り扱いを目指して始めたものであったが, 現在では数理物理だけでなく,幾何学,群論, エルゴード理論などに幅広い応用がある。 私の研究は双方向的で,これらの分野への作用素環論の応用と その逆を同時に扱っている。
 無限離散群を函数解析的に取り扱う際には,大抵, 適当な意味で有限近似をする必要がある。 中でも最も重要な概念が「従順性(amenability)」である。 実際,離散群一般に対して函数解析と関連した問題を考えるとき, 従順な群では振る舞いが礼儀正しいが, そうでない群はひどくワイルドであるという 極端なdichotomyに出会うことがしばしばある。 従順群のクラスは可解群や劣指数的増大群を全て含み, 部分群,商群,群拡大などの操作で不変なそれなりに大きいクラスであるが, 非可換な自由群などの,従順ではないが重要な群も多く存在する。 そこで,従順性を弱めた概念を考えて, より広い対象を扱おうというのが私の研究テーマのひとつである。
 そのような概念のひとつに 従順性を大幅に緩めた「完全性(exactness)」がある。 私は論文[1]において,完全性の便利な特徴づけを得て, それまで別々に行われていた先行研究を統合し, どのような群が完全であるかを調べた。 全ての群は完全であるという予想が当時あったが,この研究の結果, よく知られている群のほとんどが実際に完全であること, しかし世の中には完全でない群も存在することが判明した。 完全性は作用素環論における群の取り扱いにおいて重要な他, 幾何学における重要予想である強Novikov予想を導くことが知られている。 従って,どのような群が完全であるかを調べることは重要である。 完全性の研究は現在も続けているが,既に一段落しており, 主要な結果は文献[1,2]に纏めてある。
 完全群は距離空間としても特徴付けられる。 群$\Gamma$が有限生成なら,生成系$S$に関する語長$\ell$を $\ell(x)=\min\{ n : x\in (S\cup S^{-1})^n \}$で定義する。 このとき$d(x,y)=\ell(x^{-1}y)$は左不変な距離となる。 一般に,勝手な左不変距離$d$で任意の有界集合が有限集合となる ようなものを考える。このような条件を満たす距離$d$と$d'$は 次の意味で同値である: $d(x_n,y_n)\to\infty\Leftrightarrow d'(x_n,y_n)\to\infty$。 従って,各群$\Gamma$に対して,距離空間$(\Gamma,d)$の同値類が ただひとつ定まる。 Gromovはこのような距離空間の同値類を「粗い距離空間」と名付け, その研究を推進した。 上記の同値条件は名前の通り非常に粗いと思われるかもしれないが, 実は完全性を含め群$\Gamma$のいろいろな性質が粗い距離空間$(\Gamma,d)$に 反映されるのである。 粗い距離空間に対する指数理論(作用素環を利用する)や, 粗い幾何学も存在して,興味深い発展を遂げている。 こうした視点に立った私の最近の結果として, 群$\Gamma=\langle S \rangle$が双曲的ならば, 半群$\phi_t(x)=\exp(-t\ell(x))$が群環上の 乗数作用素として一様有界になるというものがある([3])。 この半群は双曲群上の調和解析においてFejér核の代わりとなるもので, この定理は双曲群は従順ではないものの, 完全性よりは強い良い性質を持つことを意味している。 実階数1のLie群の格子の一般化である双曲群とは対照的に, 実階数2以上のLie群の格子は変形に対する剛性を示し, 上記のような近似の性質は持たない([6])。 こうした結果は非可換調和解析のほか, 該当する群から出来る作用素環の研究にも使われる([4])。
 その他にもより最近は,群のユニタリ表現に対する有限近似性や摂動問題, それに付随した量子情報理論の問題等を取り扱っている([5,8,9])。
  1. N. Ozawa; Amenable Actions And Applications. International Congress of Mathematicians, Vol. II, 1563--1580, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.
  2. N. P. Brown and N. Ozawa; C^*-algebras and finite-dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, 88. American Mathematical Society, 2008, 509 pp.
  3. N. Ozawa; Weak amenability of hyperbolic groups. Groups Geom. Dyn., 2 (2008), 271--280.
  4. N. Ozawa and S. Popa; On a class of II_1 factors with at most one Cartan subalgebra. Ann. of Math. (2), 172 (2010), 713--749.
  5. N. Ozawa; Quasi-homomorphism rigidity with noncommutative targets. J. Reine Angew. Math., 655 (2011), 89--104.
  6. N. Ozawa; Examples of groups which are not weakly amenable. Kyoto J. Math., 52 (2012), 333--344.
  7. N. Ozawa; Metric spaces with subexponential asymptotic dimension growth. Internat. J. Algebra Comput., 22 (2012), 1250011 (3 pages).
  8. M. Burger, N. Ozawa and A. Thom; On Ulam stability. Israel J. Math., 193 (2013), 109--129.
  9. N. Ozawa; Tsirelson's problem and asymptotically commuting unitary matrices. J. Math. Phys., 54 (2013), 032202 (8 pages).