所員 -齋藤 盛彦-

名前 齋藤 盛彦 (Saito, Morihiko)
准教授
E-Mail msaito (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 代数解析学の研究
紹 介
 ホッジ加群[1][2]や$D$-加群の理論の応用等について研究を続けている。まず$b$-関数に関係した話題としては,ブドゥール氏やヴァルター氏から正則関数$f$の有理数冪で生成される$D$-加群の族と$b$-関数の根との関係についての質問を受けたので,それに対する解答を考察した[3]。これは$b$-関数の根が必ずしもすべて上記の$D$-加群の族の変化に寄与するわけではないという多少とも以外な結果となったのだが,その副産物として,超曲面孤立特異点のブリースコーン加群の飽和化におけるガウス・マニン接続の留数として得られる行列と超曲面特異点のモノドロミーとの関係についての30年来の未解決の問題の否定的な答えを得る事が出来た。この反例の構成にはかなり精密なガウス・マニン接続の計算が必要となり,30年間できなかったことも納得させられる。また,$b$-関数の根の重複度に関しては,斉次多項式の$b$-関数の根の重複度と多項式の定める射影超曲面の孤立特異点の$b$-関数の根の重複度との間には或る程度の関係がある事などもだんだんと分かってきた[4]。
 次に[5]では,多項式環を斉次多項式の偏微分で生成されるヤコビ・イデアルで割ってできたミルナー環の一種の捻れ部分と$b$-関数の根との関係についてのヴァルター氏の結果がどうも納得出来なかったので,計算機を使って色々試してみた結果,定式化が多少誤っているのではないかという結論に至り,その修正を行った上で正しい証明も付け加えた。これはカスピダル有理曲線の場合のミルナー環の捻れ部分の次元に関するディムカ氏の予想ともかなり密接に関係しており,この予想についても随分考えたのではあるが,反例も証明も見つける事はできなかった。ただしそれらと関係して,斉次多項式の特異点が一次元の場合に$b$-関数の根がミルナー環のヒルベルト数列だけでは決定されない例を発見する事などが出来た。
 上の例では斉次多項式の定める射影超曲面の孤立特異点は重み付き斉次特異点ではないのだが,[6]とも関連して特異点がすべて重み付き斉次孤立特異点の場合には今迄のところすべての計算例において$b$-関数の根をヒルベルト数列から決定する事ができる。これが一般にどの程度の仮定の下に成り立つのかは現在まだ研究中であるが,超平面配置の$b$-関数の根が組合せ不変量ではないというヴァルター氏の例などもこの方法を使って直接確かめる事が出来る。これの良いところは$b$-関数自体を計算するよりも相当に速いという事で,ヴァルター氏の例などでは$b$-関数を計算する事自体,普通の計算機ではかなり困難な様である。なお,上記の計算および考察にかなり時間を取られたのと,それから以前程は興味を持たれなくなったせいもあって,斉次多項式の定める射影超曲面の特異点がすべて重み付き斉次孤立特異点の場合の極位数スペクトル系列のE2退化の証明は延期となった。
 次にヒルツェブルフ特性類に関しては,数年前の研究で得た超平面配置の場合の公式を更に精密化するために,スペクトラル・ヒルツェブルフ特性類というのを導入して,これがホッジ加群に対するトム・セバスチャニ定理とうまく組み合わされる事などを示した。この副産物として超平面の乗数イデアルに対するトム・セバスチャニ型定理というのも得る事が出来た[7]。
 その他には,フロベニウス多様体におけるいわゆる「再構成定理」に対する反例の可能性についての考察[8]を行ったり,ホッジ加群とツイスター加群との間にある幾つかの違いについての研究[9]を行ったりした。最後にホッジ加群の分かり易い入門[10]に関しては,うまく書くのはあまり容易ではなさそうに思われる。
  1. Modules de Hodge polarisables, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 24 (1988), 849--995.
  2. Mixed Hodge Modules, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), 221--333.
  3. D-modules generated by rational powers of holomorphic functions, preprint
  4. Weight structure of vanishing cycle sheaves of homogeneous polynomials with one-dimensional singular loci, preprint
  5. Hilbert series of graded Milnor algebras and roots of Bernstein-Sato polynomials, preprint
  6. Pole order spectra of projective hypersurfaces with weighted homogeneous isolated singularities, preprint
  7. Spectral Hirzebruch-Milnor classes of singular hypersurfaces, preprint (with L. Maxim and J. Schürmann)
  8. Nilpotent orbits of Brieskorn lattices, preprint
  9. Mixed Hodge modules and mixed twistor modules, preprint
  10. A young person's guide to mixed Hodge modules, preprint