所員 -望月 拓郎-

名前 望月 拓郎 (Mochizuki, Takuro)
教授
E-Mail takuro (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 微分幾何・代数幾何の研究
紹 介
 1980年代末,K. CorletteとC. Simpsonは, 射影多様体上の平坦束,ヒッグス束, 調和バンドルの三位一体を見出し, これをもとにしてトポロジー・ 代数幾何・微分幾何にまたがる巨大な仕事をしました。 彼等の仕事の発展として, 私は特異性を持つ調和バンドルについて 研究しています。 全く一般の特異性を考えるのは生産的ではないので, ``有理型''に相当する``ワイルド''という 条件を課したものを研究しています。 この特異性を持つ調和バンドルの研究は, 代数幾何学・大域解析学・ 代数解析学・トポロジーなどが交錯する地点で, 非常に興味深い展開を見せています。
 より制限された``従順''な特異性を持つものに関しては, [1]--[4]において満足すべき結果を得られていました。 例えば, [1], [4]では, 従順調和バンドルと 安定パラボリックヒッグス束や安定パラボリック平坦束の 間のKobayashi-Hitchin対応を確立することで, Corlette-Simpsonの三位一体を 確定特異性を許す場合にまで拡張しました。 これより, 準射影多様体上の任意の平坦ベクトル束を 偏極付Hodge構造の変動に変形できることがわかり, 応用として例えば $\Gamma$を任意の群,nを3以上の整数とすると, ``$SL(n,{\mathbb Z})\times \Gamma$ $(n\geq 3)$は 準射影多様体の基本群にならない'' ことなどが示されます。 また[2]では, 従順調和バンドルは無限遠において 偏極付Hodge構造の変動と(ある意味で) ほぼ同様の振舞をする,ということを 示しました。 これをもとにして,射影多様体上の 偏極付正則純ツイスター加群と 半単純ホロノミックD-加群の対応を確立して, 半単純正則ホロノミックD-加群(偏屈層)に関する 強Lefschetz定理の証明を得ました。
 ここ数年は, これらの結果をワイルドの場合に拡張する, という仕事に取り組んできました。 従順とワイルド,あるいは確定特異点と 不確定特異点の間の大きな違いの一つは 変わり目点の存在でしたが, 代数曲面上の有理型平坦束の変わり目点の 解消の存在定理[5]を示すことで, この方面の突破口が開かれました。 そして, 満足できる成果をまとめたモノグラフ [7]が出版されました。
 現在は,発展の後の小康状態ですが, はっきりさせておくべき課題はまだだいぶ残っているので, 少しずつ処理していく予定です。 これまでに, TERP構造の漸近挙動の研究 [9] ホロノミックD-加群のベッチ構造についての研究 ``Holonomic D-module with Betti structure'' arXiv:1001.2336, 混合ツイスターD-加群の研究 ``Mixed twistor D-module'' arXiv:1104.3366 などを行なってきました。 今後の当面の目標としては, 調和バンドルの研究で得られた知見を モジュライ理論に応用することが挙げられます。 さらに,非可換代数幾何学のHodge理論, 正標数多様体上の$\ell$-進層の理論との類似, 非正則な場合のRiemann-Hilbert対応, 超局所解析との関連など, 未発達な課題にも取り組んでいきたいと思います。 またインスタントン[9] や戸田格子[8] などのように調和バンドルと関連するものに 研究の幅を広げていきたいと考えています。
 これとは別に,最近は離れてしまっていますが, 射影曲面上の半安定層などのモジュライ, およびそこから得られる不変量にも興味を 持っています。 80年代から90年代初めにかけて,Donaldson不変量が 盛んに研究されました。 その頃は主としてトポロジーへの応用が主目的でしたが, Seiberg-Witten不変量の登場以来, Seiberg-Witten不変量との関係(Witten予想)や 計量への依存(壁越え公式)への興味から 研究されています。 私は[6]において, 一般階数の半安定層のモジュライや \delta-安定Bradlow対のモジュライを用いて Donaldson不変量の代数幾何的類似物を構成しました。 このようにして得られる不変量達の間の関係を調べることは 興味深い問題であり, 例えば偏極への依存を階数の低い半安定層のモジュライ達の 直積上の積分の和としてあらわす 弱壁越え公式が得られています。 特に階数2の場合にはHilbert schemeの直積上の積分の和として 表す式になり,曲面のコホモロジー環と特性類のみに依存する 普遍的な関係の存在を意味します。 L. Göttsche, H. Nakajima, K. Yoshiokaの仕事 とあわせると射影曲面に関する壁越え公式が得られます。 類似の話を別のモジュライの場合に展開すること, あるいは,上の話をJ. LurieやB. Toenによる 導来スタックの理論を使ってやり直してみることなどを 当面の課題としていますが, 背後に隠れている(?)幾何学構造をつかまえることが, 遠い目標です。
  1. Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles and an application, Astérisque, 309, (2006)
  2. Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules I, Mem. AMS., 185, no. 869, (2007)
  3. Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules II, Mem. AMS., 185, no. 870, (2007)
  4. Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles II, Geometry & Topology, 13, (2009), 359--455
  5. Good formal structure for meromorphic flat connections on smooth projective surfaces, IN `Algebraic Analysis and Around', Advanced Studies in Pure Mathematics 54, (2009), 223--253
  6. Donaldson type invariants for algebraic surfaces, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1972, Springer, 2009
  7. Wild harmonic bundles and wild pure twistor $D$-modules, Astérisque 340, 2011
  8. Harmonic bundles and Toda lattices II, to appear in Communications in Mathematical Physics
  9. Asymptotic behaviour and the Nahm transform of doubly periodic instantons with square integrable curvature, to appear in Geometry & Topology
  10. Holonomic D-modules with Betti structure, to appear in Méoires de la Société Mathématique de France