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玉川 安騎男

名前 玉川 安騎男 (Tamagawa, Akio)

教授

E-Mail tamagawa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)

U R L

研究内容 整数論,数論幾何学の研究

紹 介

1. 代数多様体,特に代数曲線やそのモジュライ空間の被覆と 基本群に関する数論幾何は, 内外の多くの研究者に よってさまざまな視点から研究されている。 本研究所では,望月新一,星裕一郎及び当該所員を中心に, 広い意味での遠アーベル幾何(anabelian geometry)を 軸として活発に研究が進められ,当該分野を世界的に リードしている。 特に,曲線の遠アーベル幾何に関して, 当該所員は,これまでに 有限体上の結果,有理数体上有限生成な体上の結果, 有限体の代数閉包上の結果を得てきた。
以下では,当該所員が近年得た,いくつかの結果を簡単に紹介する。
・(M. Saïdiとの共同研究)有限体上の曲線やその関数体の 遠アーベル幾何に関し, 幾何的基本群を標数と素な最大商に置き換えた場合のIsom版, ある種の局所条件の下でのHom版, 素数の無限集合$\Sigma$である条件を満たすものに対して幾何的基本群を 最大副$\Sigma$商に置き換えた場合のIsom版([9]及び 論文1編J. Algebraic Geom.に掲載予定)などを証明した。 また,正標数代数閉体上の曲線の(弱い意味での)遠アーベル幾何について, 一般の閉体の場合に一定の結果を得た([6])。 さらに,有限生成体上の曲線に対するセクション予想に関連して, 離散的セルマー群や離散的シャファレビッチ・テイト群という, 有限生成体上のアーベル多様体の新しい数論幾何的不変量を導入した(論文投稿中)。 最近では,代数体や有限体上の一変数関数体の遠アーベル幾何に関し, ガロア群を長さ$m$可解な最大商に置き換えた場合の結果を得た(論文2編準備中)。
・(A. Cadoretとの共同研究) 有理数体上有限生成な体上の曲線の上のアーベルスキームと素数$l$に対し, ファイバーに現れるアーベル多様体の有理的な$l$冪ねじれ点の位数に 対する上界の存在を証明し,系として, Friedのモジュラータワー予想の $1$次元の場合を肯定的に解決した([1])。 また,この結果を大きく一般化し,有理数体上有限生成な体上の曲線の数論的基本群の $l$進ガロア表現で幾何的基本群の像がある種の弱い条件を満たすものが与えられた時, その表現を曲線の(剰余次数を制限した)閉点の分解群に制限して得られるガロア表現に 対する像の下界の存在を証明した([2][3])。 この結果は,条件を外した場合は一般には成立しないが,一般の$l$進表現の場合に 部分的な肯定的結果を得た([4])。 素数$l$を走らせた時の$l$進表現系や法$l$表現系の像の幾何的部分のふるまいについても考察し, 種数やゴナリティーの発散性や像の$l$独立性などに関する結果を証明した ([5]及び 論文1編J. reine angew. Math.に掲載予定, 1編Int. Math. Res. Not.に掲載予定)。 最近では,アーベルスキームのファイバーに現れるアーベル多様体の共通同種因子 に関するRössler-Szamuelyの問題について部分的な結果を得た(論文投稿中)。
・(A.Cadoret,C.Huiとの共同研究) 上述の法$l$表現系に関するCadoretとの共同研究の発展として, 幾何的モノドロミーの法$l$半単純性についての強い結果を得た([10])。 また,Grothendieck-Serre-Tate予想(Tate予想+半単純性予想)の$\mathbb{Q}_l$係数版と $\mathbb{F}_l$係数版の間の比較を行った(論文投稿中)。 最近では,$l$進表現系の整半単純性について研究し, 関連して超積係数のモノドロミーについても考察した(論文準備中)。
・(C. Rasmussen との共同研究)3点抜き射影直線の副l基本群の上の ガロア表現に関する伊原の問題に関連して,有限次代数体Kと整数 gが与えられた時,K上のg次元 アーベル多様体Aの同型類と素数lの組で,体 $K(A[l^\infty])$ が lの外で不分岐で$K(\zeta_l)$上副$l$な拡大になるようなものは 有限個しかないことを予想し, $[K:\Bbb Q]\leq 3$,$g=1$の場合, $K=\Bbb Q$,$g\leq 3$の場合, 及び一般Riemann予想の仮定下での $\text{$K$:一般}$,$\text{$g$:一般}$の場合などに肯定的 解決を得た([8])。また,関連して, $2$の外で不分岐な主偏極アーベル曲面の$2$冪ねじれ点の研究 ([7])や 射影直線の$l$冪次巡回被覆のヤコビ多様体の$l$冪ねじれ点の研究 (論文投稿中)を行った。

2. 標数$0$の体の上の種数$2$以上の曲線をヤコビ多様体に埋め込む時, Manin-Mumford予想(Raynaud の定理)により, 曲線上にあるヤコビ多様体のねじれ点は有限個 であるが, フェルマー曲線の場合(R.Coleman,P.Tzermiasとの共同研究) とモジュラー曲線 の場合に,それぞれこの有限集合を具体的に決定した。

3. Drinfeld 加群やそのモジュライ空間に関する研究を以前行った。

  1. Uniform boundedness of $p$-primary torsion of abelian schemes, Inventiones Mathematicae 188 (2012), no. 1, 83--125. (with Anna Cadoret).
  2. A uniform open image theorem for $\ell$-adic representations I, Duke Mathematical Journal 161 (2012), no. 13, 2605--2634 (with Anna Cadoret).
  3. A uniform open image theorem for $\ell$-adic representations II, Duke Mathematical Journal 162 (2013), no. 12, 2301-2344 (with Anna Cadoret).
  4. Controlling the Galois images in one-dimensional families of $\ell$-adic representations, Journal of Algebra 412 (2014), 189--206 (with Anna Cadoret).
  5. Gonality of abstract modular curves in positive characteristic, Compositio Mathematica 152 (2016), no. 11, 2405--2442 (with Anna Cadoret).
  6. Variation of fundamental groups of curves in positive characteristic, Journal of Algebraic Geometry 26 (2017), 1--16 (with Mohamed Saïdi).
  7. Abelian surfaces good away from $2$, International Journal of Number Theory 13 (2017), no. 4 , 991--1001 (with Christopher Rasmussen).
  8. Arithmetic of abelian varieties with constrained torsion, Transactions of the American Mathematical Society 369 (2017), no.4, 2395--2424 (with Christopher Rasmussen).
  9. A refined version of Grothendieck's birational anabelian conjecture for curves over finite fields, Advances in Mathematics 310 (2017), 610--662 (with Mohamed Saïdi).
  10. Geometric monodromy --- semisimplicity and maximality, Annals of Mathematics (2) 186 (2017), no. 1, 205--236 (with Anna Cadoret and Chun Yin Hui).

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)