所員 -玉川 安騎男-

名前 玉川 安騎男 (Tamagawa, Akio)
教授
E-Mail tamagawa (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 整数論,数論幾何学の研究
紹 介
1.代数多様体,特に代数曲線やそのモジュライ空間の被覆と 基本群に関する数論幾何は,近年内外の多くの研究者に よってさまざまな視点から研究されている。 本研究所では,望月新一,星裕一郎及び当該所員を中心に, 広い意味での遠アーベル幾何(anabelian geometry)を 軸として活発に研究が進められ,当該分野を世界的に リードしている。 特に,曲線の遠アーベル幾何に関して, 当該所員は,これまでに 有限体上の結果,有理数体上有限生成な体上の結果, 有限体の代数閉包上の結果を得てきた。
以下では,当該所員が近年得た,いくつかの結果を簡単に紹介する。
・(M. Saïdiとの共同研究)有限体上の曲線やその関数体の 遠アーベル幾何に関し,幾何的基本群を標数と素な最大商に置き換えた場合 のIsom版を証明した([2][4])。 更に,ある種の局所条件を仮定した上でのHom版(\cite{wSaidi-Hom})や, 素数の無限集合$\Sigma$である条件を満たすものに対して幾何的基本群を 最大副$\Sigma$商に置き換えた場合のIsom版(論文1編投稿中,1編準備中) などを証明した。また,正標数代数閉体上の曲線の (弱い意味での)遠アーベル幾何について,有限体の代数閉包の 場合には当該所員により良い結果が得られていたが, (そのままの定式化では成立しない)一般の場合に一定の結果を得た (論文投稿中)。
・(A. Cadoretとの共同研究) 有理数体上有限生成な体上の曲線の上のアーベルスキームと素数lに対し, そのファイバーに現れるアーベル多様体の有理的な$l$冪ねじれ点の位数に 対する上界の存在を証明し,その系として,フルビッツ空間(曲線のガロア被覆の モジュライ空間)の有理点に関するFriedのモジュラータワー予想のうち, 1次元の場合を肯定的に解決した([3][7])。更に, この結果を大きく一般化し,有理数体上有限生成な体上の曲線の数論的基本群の l進ガロア表現で幾何的基本群の像がある種の弱い条件を満たすものが与えられた時, その表現を曲線の(剰余次数を制限した)閉点の分解群に制限して得られるガロア表現に 対する像の下界の存在を証明した([8][10])。 この結果は,条件を外した場合は一般には成立しないが,最近, 一般のl進表現の場合に,部分的な肯定的結果を得た(論文投稿中)。 素数lを走らせた時のガロア像の幾何的部分のふるまいについても考察し, 種数の発散性や像のl独立性などに関する結果を証明した (\cite{wCadoret-modlI}及び論文2編投稿中,1編準備中)。 また,アーベル多様体のねじれ点に対する普遍上界予想と曲線のヤコビ多様体の ねじれ点に対する普遍上界予想の定量的な比較をした([9])。
・(C. Rasmussen との共同研究)3点抜き射影直線の副l基本群の上の ガロア表現に関する伊原の問題に関連して,有限次代数体Kと 正整数 gが与えられた時,K上のg次元 アーベル多様体Aの同型類と素数lの組で,体 $K(A[l^\infty])$ が lの外で不分岐で$K(\zeta_l)$上副lな拡大になるようなものは 有限個しかないことを予想し, $[K:\Bbb Q]\leq 3$,g=1の場合, $K=\Bbb Q$,$g\leq 3$の場合, 及び一般Riemann予想の仮定下での $\text{$K$:一般}$,$\text{$g$:一般}$の場合などに肯定的 解決を得た(論文1編掲載済,1編投稿中)。
2. 標数0の体の上の種数2以上の曲線をヤコビ多様体に埋め込む時, Manin-Mumford予想(Raynaud の定理)により, 曲線上にあるヤコビ多様体のねじれ点は有限個 であるが, フェルマー曲線の場合(R.Coleman,P.Tzermiasとの共同研究) とモジュラー曲線 の場合に,それぞれこの有限集合を具体的に決定した。
3.Drinfeld 加群やそのモジュライ空間に関する 研究を以前行ったことがある。
  1. Stratification of Hurwitz spaces by closed modular subvarieties, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 5 (2009), no. 1, 227--253 (with Anna Cadoret).
  2. A prime-to-p version of Grothendieck's anabelian conjecture for hyperbolic curves over finite fields of characteristic p>0, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 45 (2009), no. 1, 135--186 (with Mohamed Saï di).
  3. Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces, RIMS Kokyuroku Bessatsu B12 (2009), 7--29. (with Anna Cadoret)
  4. On the anabelian geometry of hyperbolic curves over finite fields, RIMS Kokyuroku Bessatsu B12 (2009), 67--89. (with Mohamed Saïdi)
  5. On the Hom-form of Grothendieck's birational anabelian conjecture in characteristic p>0}, Algebra and Number Theory 5 (2011), no. 2, 131--184. (with Mohamed Saïdi).
  6. On a weak variant of the geometric torsion conjecture, Journal of Algebra 346 (2011), no. 1, 227--247. (with Anna Cadoret).
  7. Uniform boundedness of $p$-primary torsion of abelian schemes, Inventiones Mathematicae 188 (2012), no. 1, 83--125. (with Anna Cadoret).
  8. A uniform open image theorem for $\ell$-adic representations I, Duke Mathematical Journal 161 (2012), no. 13, 2605--2634 (with Anna Cadoret).
  9. Note on torsion conjecture, Séminaires et Congrés 27 (2013), 57--68 (with Anna Cadoret).
  10. A uniform open image theorem for $\ell$-adic representations II, Duke Mathematical Journal 162 (2013), no. 12, 2301-2344 (with Anna Cadoret).