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辻村 昇太

名前 辻村 昇太 (Tsujimura, Shota)

助教

E-Mail stsuji (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 数論幾何

紹 介

 私は双曲的曲線の数論幾何に興味を持っており,特に,遠アーベル幾何学, 及び,その応用の研究を行っている。これまでに以下のような研究を行った。
本学の星裕一郎氏,望月新一氏によって構築された組み合わせ論的遠アーベ ル幾何学を用いて(彼ら自身によって)双曲的曲線のモジュライスタック上の 普遍曲線に対する幾何学版Grothendieck予想が証明されていた。[1]では,プロ ファイル付Hurwitzスタック(点付き単純被覆のモジュライ空間)を導入の後,この 幾何学版Grothendieck予想のHurwitzスタック(単純被覆のモジュライ空間)版を定式 化し,組み合わせ論的遠アーベル幾何学を適用することで証明した。
絶対遠アーベル幾何学の文脈で,Belyiカスプ化と呼ばれる$p$進局所体上の (特別な種類の)双曲的曲線の閉点に付随する分解群を復元する技術が,望月 新一氏によって構築されていた。[2]では,このBelyiカスプ化のある種の組み 合わせ論版(組み合わせ論的Belyiカスプ化)を三脚同期化の理論を用いて構築 した。さらに,古くから考察されている有名な問題である「射影直線引く$3$点 の幾何的基本群への外Galois作用から誘導される,有理数体の絶対Galois群か らGrothendieck-Teichmüller群への単射は全単射か」に関する次のような応 用を与えた。
(a)Yves Andre氏によって定義されたGrothendieck-Teichmüller群の$p$進局 所版に関して,$p$進数体の絶対Galois群からその$p$進局所版への自然な単射 は自然な分裂を持つ。
(b)有理数体の絶対Galois群から,有理数体の最大アーベル拡大の絶対Galois群 のGrothend ieck-Teichmüller群内での通約化部分群への,自然な単射は自然 な分裂を持つ。
証明では組み合わせ論的Belyiカスプ化以外の非自明な結果として,(a)ではEmmanuel Lepage氏によるMumford曲線に対する非特異点解消,(b)ではKen Ribet氏による数体の最大円分拡大上のアーベル多様体の捻れ点集合の有限性をそれぞれ用いている。(b)に関しては,捻れ点集合の有限性の代わりに,Jakob Stix氏が観察しているような種数$0$の双曲的曲線に対する弱Grothendieck予想型の結果を代用することも可能である。Jakob Stix氏によるこの結果は,証明を修正すれば実際にはより広いクラスの体上で成立するもので,[2]ではそのような一般化も証明した。さらに,(a),(b)で構成した2つの分裂はほとんど単射であると期待している。実際に,(b)で構成した分裂について,現在論文準備中ではあるが,その後の星裕一郎氏,望月新一氏との共同研究によ り単射であることが分かった。
また,絶対遠アーベル幾何学に関する研究として,[3]では,星裕一郎氏, 室谷岳寛氏と共同で,実閉体上の代数多様体のエタール基本群の半絶対性に関 する考察を行った。[4]では,南出新氏と共同で,離散付値体の絶対Galois群の 遠アーベル的な群論的性質に関する考察を行った。

  1. S. Tsujimura, Geometric Version of the Grothendieck Conjecture for Universal Curves over Hurwitz Stacks, RIMS Preprint 1886 (May 2018).
  2. S. Tsujimura, Combinatorial Belyi Cuspidalization and Arithmetic Subquotients of the Grothendieck-Teichmüller Group, to appear in Publ. Res. Inst. Math. Sci.
  3. Y. Hoshi, T. Murotani, S. Tsujimura, On the Geometric Subgroups of the Étale Fundamental Groups of Varieties over Real Closed Fields, to appear in Math. Z.
  4. A. Minamide, S. Tsujimura, Anabelian Group-theoretic Properties of the Absolute Galois Groups of Discrete Valuation Fields, RIMS Preprint 1919 (June 2020)

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)