所員 -山田 道夫-

名前 山田 道夫 (Yamada, Michio)
教授
E-Mail yamada (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 流体力学・非線形力学・ウェーブレット解析の研究
紹 介
 2次元および3次元の Navier-Stokes 方程式に従う流体の運動を研究している。 対象となる流体運動は,流体乱流,回転乱流,微小生物に関わる遅い流れなどである。 乱流については流れの統計的特徴と相空間におけるカオス軌道の性質の関係, 回転系の流れでは天体や地球惑星系における大規模流体運動と関連する 波動と流れの相互作用,遅い流れでは微小生物の運動機構などについて興味 を持ち,それぞれ理論的および数値解析的な研究を行うと共に,これらの研究 に現れるデータ解析に必要な応用数学的手法の研究も行っている。

・乱流の統計性質の研究
 発達した流体乱流については Kolmogorov の相似則を初めとする統計性質が知 られているが,それらが相空間の軌道の構造とどのような関係にあるのかという ことについては殆ど知見が得られていない。実際 Navier-Stokes 方程式について 解軌道の解析を行うことは現状では非常に難しい。そこで流体乱流のモデ ル方程式であるシェルモデルや低次元写像,低次元微分方程式系において, カオス平均と周期軌道平均の関係を調べ,従来から散見されていた短周期の 軌道解析の有効性を支持する結果を得た。また近年開発された共変リヤプノフ 解析の手法を2次元トーラス上の Navier-Stokes 方程式(Kolmogorov問題) に適用し,Reynolds 数の増大とともに,初め双曲的であった系が次第に非双 曲系に近づき,あるReynolds数において非双曲化することを見出した。 さらにこのときの流れの物理的特徴に注目し,特に流れ場に伴う長時間相関関数 の形が双曲/非双曲転移に伴って変化することを見出した。また Navier-Stokes 方程式に従う3次元乱流として Couette 乱流を取り上げ, 乱流の自己維持過程として知られている過程を共変リヤプノフ解析を用いて 調べ,ストリークの崩壊は解軌道の不安定性によること,及び,ストリーク の再形成過程には解軌道の不安定性が存在しないことを見出した. またエネルギー収支解析より,ストリーク構造に対応するモードには常に エネルギーが流入しているが,エネルギーが増加すると蛇行モードへのエネル ギー流出が生じこれがストリークモードの消長を制御していることを見出した.

・回転を含む系の流体運動
 これまでに高精度の数値実験によって,回転球面上の自由減衰2次元乱流では 両極域に東風周極ジェットが形成されることを見出し,この現象の 定量的記述のため回転角速度が非常に大きな場合の両極域における 周極ジェットに特徴 的な漸近挙動を明らかにした。 回転球面上の強制2次元乱流についても長時間の数値実験を実行し,従来 知られていた多数本の帯状ジェット形成が遷移状態に過ぎず,最終的 には少数本(2本または3本)のジェットからなる状態に落ち着くことを 見出した。これらの現象の背後にはロスビー波による角運動量再配分機構が ある.そこで,回転球面上で少数本のジェットをもつ基本的な(流れ関数が 球面調和関数)解の安定性および分岐構造を調べることにより, 回転が流れを安定化させることを見出し,乱流の終状態との関連を 議論した。また分岐解析によって得られた定常解の張る低次元空間 によって乱流状態を近似し,乱流の平均量がよく近似されることを 見出した.
ロスビー波とジェットの相互作用の基本的なモデルは,$\beta$-平面上に おける平行流とロスビー波の相互作用である。この相互作用は従来,臨界層 を通じた運動量輸送として定性的な描像が与えられてきた。この定量的記述 を目的として,平行流の周りの線形摂動解の遠方の漸近形,特にロスビー波の 反射係数と透過係数を用いて平均流加速量の表式を導いた。これは臨界層を 通じた運動量輸送を平行流の安定性固有値問題に帰着させるもので, 固有値問題の中立安定解に物理的意味を与えるものである。
また3次元の流れに回転が及ぼす影響を,回転球殻内の熱対流パターンについて 調べた.これは地球や惑星の内部対流の典型的なモデルであるが, 平面ベナール対流に比べ未知の部分が多い. 中間的な回転角速度のパラメータ領域において 静止解から分岐する東西方向定常進行波解を求め,その安定性をしらべて 分岐図を作成し,東西位相速度の反転現象を見出した.さらに反転前後の対流 パターンを調べることにより,この反転が解の分岐によるものではなく, 赤道付近に生成される帯状流の強さの変化を原因とするものであ ることを見出した。またこの系において,流れが内側および外側境界に及ぼす トルクを求め,対流によって境界の回転角速度の違いが引き起こされることを 見出し,内側および外側境界が3軸回転を行う場合の分岐解析を行い, 境界が固定された場合の結果と比較した.

・微小生物の周りの遅い流れ
 流体中の微小生物がゆっくりと形状変化する場合は,Stokes 方程式中の時間微分項の 寄与が小さいため,周囲の流れは定常 Stokes 流として扱うことができる。 このような場合について,生物の形状変化が往復運動,すなわち区間 $[0,1]$ 上の 変数によって記述できるときは,形状変化の一周期における生物の移動距離が ゼロとなることを主張する「Purcell の帆立貝定理」が知られている。これは微小生物 の運動形態に強い制約を与える重要な定理であり多くの研究者が部分的な 証明を試みてきたが,完全な証明は知られていなかった。そこで,周囲に流体が 存在しない仮想的な生物を導入して生物運動を形状変形運動と 重心・回転運動に分離することによって,この定理の完全な証明を与えた。

・ウェーブレットおよびデータ解析法の研究
 データ解析に利用するために,与えられた波形に近い関数形を持つウェーブレッ ト(双直交ウェーブレット)の構成方法を研究している。2スケー ル関係式の係数によって作られるシンボルと呼ばれる関数を最適化するこ とによる双直交ウェーブレットの構成などにより, 直交ウェーブレット展開の特性を 利用したデータ解析や波形合成,また大規模構造物設計用の地震波形合成 などを行っている。
  1. Stability and bifurcation diagram of Boussinesq thermal convection in a moderately rotating spherical shell, Physics of Fluids, 23, 074101:1--11, 2011. doi: 10.1063/1.3602917 (with K.Kimura and S.Takehiro)
  2. Linear stability of steady zonal jet flows induced by a small-scale forcing on a beta-plane, Physica D, 240, 1825--1834, 2011. doi: 10.1016/j.physd.2011.08.009 (with K.Obuse and S.Takehiro)
  3. Covariant Lyapunov analysis of chaotic Kolmogorov flows Physical Review E, 01633:1--10, doi: 10.1103/PhysRevE.85.016331, 2012, (with M.Inubushi, M.U.Kobayashi and S.Takehiro)
  4. A coordinate-based proof of the scallop theorem SIAM J. Appl. Math., 72(5), 1686-1694, 2012 doi: 10.1137/110853297 (with K.Ishimoto)
  5. A note on the stability of inviscid zonal jet flows on a rotating sphere. J. Fluid Mech., 710, 154-165, 2012 doi: 10.1017/jfm.2012.356 (with E.Sasaki and S.Takehiro)
  6. Torques on the inner and outer spheres induced by the Boussinesq thermal convection in a rotating spherical shell. J.Phys.Soc. Japan, vol.81 (2012) 084401, 8pp. doi: 10.1143/JPSJ.81.084401 (with K.Kimura and S.Takehiro)
  7. Weak interaction between zonal jets on a beta plane. JJIAM, 30, 111-127 (2013), doi: 10.1007/s13160-012-0086-9 (with K.Obuse and S.Takehiro)
  8. Resonant interaction of Rossby waves in two-dimensional flow on a beta plane, Physica D, 245(1), 1-7 (2013). doi: 10.1016/j.bbr.2011.03.031 (with T.Yoneda)
  9. Stability and bifurcation diagram of Boussinesq thermal convection in a moderately rotating spherical shell allowing rotation of the inner sphere. Phys. Fluids, 25, 084107-1 to 15 (2013). doi:10.1063/1.4819140 (with K.Kimura and S.Takehiro)
  10. Linear stability of viscous zonal jets flows on a rotating sphere. J. Phys. Soc. Japan, 82, 094402-1 to 6 (2013). doi: 10.7566/JPSJ.82.094402 (with E.Sasaki and S.Takehiro)