所員 -安田 正大-
名前
安田 正大 (Yasuda, Seidai)
安田 正大 (Yasuda, Seidai)
職
助教
助教
E-Mail
yasuda （emailアドレスには＠kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください）
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U R L
研究内容
整数論・数論幾何学の研究
整数論・数論幾何学の研究
紹 介
代数体上の代数多様体の Hasse-Weil
L-関数の研究は，数論的多様体の研究において，
重要かつ中心的な課題である。
Hasse-Weil L-関数の整数値に関して，
Bloch-加藤予想と呼ばれる予想がある。
これは，多様体の代数的 K-群
からの regulator 写像を用いて Hasse-Weil L-関数
の特殊値を記述する Beilinson による予想
を精密化するものである。
この Bloch-加藤予想における，係数環
の一般化および非可換化に関して，ここ数年の間に
重要な進展が見られつつある。
当該研究者は，l-進および p-進エタール層 に関する分岐の理論，およびモチーフと保型形式の 間の Langlands 対応，という 2 つの分野を 視野に入れながら，上記の予想について研究を行っている。
分岐の理論との関連という視点からは， 代数体上の代数多様体の多様体の還元の悪さを うまく取り扱う手法の 開発をすることが必要となってくる。 そのため，各素数 p に対し， p-進局所体上の代数多様体に関する還元の悪さを， L-関数，および特性類と結びつくような形で 捕らえることのできる，局所体上の多様体の l-進エタールコホモロジー群 V に対する導手およびその精密化である $\vep$-因子について， より深い考察を加えることが重要である。 多様体の還元の悪さをうまくとり扱う ことが重要である。 Bloch-加藤予想は， V-の $\vep$-因子を，V の $\Z_l$-lattice のガロア・コホモロジーを 考えることによって， 完全に解析できることを示唆している。 Perrin-Riou，加藤， Burns-Greither，Huber-Kings， Coates-深谷-加藤-Sujatha-Venjakob によって一般化された結果， いかなる(可換とも限らない) pro-l 環を係数とする， 局所体のいかなるガロア表現 T に対しても， pro-l $\vep$-因子の理論が存在し， T のガロア・コホモロジーを用いて 記述されることが予想されている。 当該研究者は，今までの研究で l が p と異なる場合に，そのような理論の構成を行った ([4]，[6]，[7])。 さらに [6] で得られた結果を， 加法指標の値域を係数環と分離する方法を用いて， p が加逆となる，一般の可換 noether 環あるいは 一般の非可換副有限環を係数環とする 表現に対して拡張した(論文準備中)。
加藤和也氏により構成されている p-進 $\varepsilon$-元の $(\varphi,\Gamma)$-加群の視点からの 見直しを行った結果，rank 1 の表現に対する加藤氏の p-進 $\epsilon$-元は，一見 Coleman 巾級数を用いた， 技巧的な方法を用いて構成されているように見えるが， $(\varphi,\Gamma)$-加群の立場から見ると，p-進 $\epsilon$-元は，固定した 1 の p-巾根の system $\epsilon = (\zeta_{p^n})$ から作られる元 $[\epsilon]\in\A$ に $1\in \Q_p$ を送ることにより 得られるアーベル群の準同型 $\Q_p \to \A^{\times}$ を， 通常の加法指標の類似と思い， Tate による $\varepsilon$-因子の構成と 同様の構成を実施して構成したものである， という自然な見方ができることがわかった。 現在，p 進局所 Langlands 対応との関連から， この見方をさらに推し進める研究を進めている。
また，近藤智氏との共同研究を行い， Beilinson 予想の正標数類似の追求をしている。 標数 p 関数体上の代数多様体の Hasse-Weil L-関数は， 本質的に有理数係数の有理関数であり，しかも 有限体上の多様体の合同ゼータ関数によって記述 されてしまうため，Beilinson 予想および Bloch-加藤予想の p と素な部分は， 代数体上の場合ほど面白い予想とならない。 しかし，K-群の元の regulator 写像と， Hasse-Weil L-関数の特殊値との関係をより 精密に予想するような，関数体の場合でも 価値のある予想が定式化できるのではないか という信念のもとに研究を行っている。
この共同研究によって得られた成果の中で重要なもの([3]) について以下に簡潔に述べる。 素点をひとつ固定した正標数の大域体F 上の，適当なレベル構造つきの階数 $d\ge 1$ の Drinfeld モジュラー多様体の d-次 Milnor K-群の元 $\kappa_{I,J}$ (I,J はレベル 構造のパラメータ)を構成し，それらが K-群のノルム写像と Hecke 作用素に関して，Euler 系と呼ぶべき 関係を満たすことを証明した。 この結果は 技術的な仮定のもと，本質的に近藤氏が得ていた ものであるが，今回の共同研究により見通しのよい 別証明が得られた結果，技術的な仮定が不要となった。 さらに $\infty$ における境界写像 (これは Beilinson regulator 写像の関数体類似とみなせる) による $\kappa_{I,J}$ の像を計算し，Rankin-Selberg の方法を多重化することにより，それを F 上の $\GL_d$ に関する尖点的保型表現 $\pi$ の L-関数 $L(\pi,s)$ の特殊値と関連づける公式を得た。 その公式には，L-関数の特殊値の他に， $\GL_d$ の極大分裂トーラスの正規化群上 での $\pi$ に属する尖点形式 f の 積分 P(f) が現れるが， F が有理関数体かつ f が 2 つの素点で とある分岐の条件をみたす場合に，P(f) もまた 関数 $L(\pi,s)$ の特殊値を用いて表示されることが わかった。 Werner による Bruhat-Tits building のコンパクト化を 用いて Bruhat-Tits building の 数論的商の上の modular symbol の理論を構成し，これを利用して， 上で構成した $\kappa_{I,J}$ および それと類似の方法で構成される元で生成される Drinfeld モジュラー多様体の d-次 Milnor K-群の部分群が十分大きい ことを示した。
また論文 [11] およびそれにつづく投稿中の論文で， d=2 の場合の前段落の結果を 応用することによって， 関数体 F 上の楕円曲線 E の各次数のモチヴィックコホモロジー群 H に対して 次の結果を得た: H をその最大可除部分群で割った群 を H'，F の素点 v に対し E の v での還元の 適当な次数のモチヴィックコホモロジー群を $H_v$ とすると， H' から $\bigoplus_v H_v$ への境界写像 $\partial$ が 考えられるが，この境界写像 $\partial$ の 核および余核の階数およびトージョンの位数を 完全に決定し，E の L-関数の特殊値と関係付けた。 この決定のため，Morel-Voevodsky の $\A^1$ ホモトピー 論を用いて定義されるモチヴィックコホモロジー群の性質と， 従来の，例えば higher Chow 群や Voevodsky によるモチーフの 導来圏を用いて定義されるモチヴィックコホモロジー群の性質の 間の整合性をいくつか確立した。 そのひとつが論文 [10] で ある。
上述のものの他に，近藤智氏との共同研究がきっかけとなって 得られた楕円曲線の低次のモチヴィックコホモロジーの安定性 に関する結果，有限体上の代数曲線上の $\ell$ 進層の コホモロジーへのフロベニウス作用の半単純性と L関数の 特殊値との関係に関する結果などについて，論文を準備中である。
近年 Taylor-Wiles によって基礎が確立された patching の議論によって， Langlands 対応の一部をなす Galois 表現の保型性がすこしづつ証明され， 大きな応用が得られている。 当該研究者は最近，整係数 p進表現 を詳細に調べることによって，Galois 表現の保型性に関する結果を 改良することに取り組んでいる。
当該研究者は，l-進および p-進エタール層 に関する分岐の理論，およびモチーフと保型形式の 間の Langlands 対応，という 2 つの分野を 視野に入れながら，上記の予想について研究を行っている。
分岐の理論との関連という視点からは， 代数体上の代数多様体の多様体の還元の悪さを うまく取り扱う手法の 開発をすることが必要となってくる。 そのため，各素数 p に対し， p-進局所体上の代数多様体に関する還元の悪さを， L-関数，および特性類と結びつくような形で 捕らえることのできる，局所体上の多様体の l-進エタールコホモロジー群 V に対する導手およびその精密化である $\vep$-因子について， より深い考察を加えることが重要である。 多様体の還元の悪さをうまくとり扱う ことが重要である。 Bloch-加藤予想は， V-の $\vep$-因子を，V の $\Z_l$-lattice のガロア・コホモロジーを 考えることによって， 完全に解析できることを示唆している。 Perrin-Riou，加藤， Burns-Greither，Huber-Kings， Coates-深谷-加藤-Sujatha-Venjakob によって一般化された結果， いかなる(可換とも限らない) pro-l 環を係数とする， 局所体のいかなるガロア表現 T に対しても， pro-l $\vep$-因子の理論が存在し， T のガロア・コホモロジーを用いて 記述されることが予想されている。 当該研究者は，今までの研究で l が p と異なる場合に，そのような理論の構成を行った ([4]，[6]，[7])。 さらに [6] で得られた結果を， 加法指標の値域を係数環と分離する方法を用いて， p が加逆となる，一般の可換 noether 環あるいは 一般の非可換副有限環を係数環とする 表現に対して拡張した(論文準備中)。
加藤和也氏により構成されている p-進 $\varepsilon$-元の $(\varphi,\Gamma)$-加群の視点からの 見直しを行った結果，rank 1 の表現に対する加藤氏の p-進 $\epsilon$-元は，一見 Coleman 巾級数を用いた， 技巧的な方法を用いて構成されているように見えるが， $(\varphi,\Gamma)$-加群の立場から見ると，p-進 $\epsilon$-元は，固定した 1 の p-巾根の system $\epsilon = (\zeta_{p^n})$ から作られる元 $[\epsilon]\in\A$ に $1\in \Q_p$ を送ることにより 得られるアーベル群の準同型 $\Q_p \to \A^{\times}$ を， 通常の加法指標の類似と思い， Tate による $\varepsilon$-因子の構成と 同様の構成を実施して構成したものである， という自然な見方ができることがわかった。 現在，p 進局所 Langlands 対応との関連から， この見方をさらに推し進める研究を進めている。
また，近藤智氏との共同研究を行い， Beilinson 予想の正標数類似の追求をしている。 標数 p 関数体上の代数多様体の Hasse-Weil L-関数は， 本質的に有理数係数の有理関数であり，しかも 有限体上の多様体の合同ゼータ関数によって記述 されてしまうため，Beilinson 予想および Bloch-加藤予想の p と素な部分は， 代数体上の場合ほど面白い予想とならない。 しかし，K-群の元の regulator 写像と， Hasse-Weil L-関数の特殊値との関係をより 精密に予想するような，関数体の場合でも 価値のある予想が定式化できるのではないか という信念のもとに研究を行っている。
この共同研究によって得られた成果の中で重要なもの([3]) について以下に簡潔に述べる。 素点をひとつ固定した正標数の大域体F 上の，適当なレベル構造つきの階数 $d\ge 1$ の Drinfeld モジュラー多様体の d-次 Milnor K-群の元 $\kappa_{I,J}$ (I,J はレベル 構造のパラメータ)を構成し，それらが K-群のノルム写像と Hecke 作用素に関して，Euler 系と呼ぶべき 関係を満たすことを証明した。 この結果は 技術的な仮定のもと，本質的に近藤氏が得ていた ものであるが，今回の共同研究により見通しのよい 別証明が得られた結果，技術的な仮定が不要となった。 さらに $\infty$ における境界写像 (これは Beilinson regulator 写像の関数体類似とみなせる) による $\kappa_{I,J}$ の像を計算し，Rankin-Selberg の方法を多重化することにより，それを F 上の $\GL_d$ に関する尖点的保型表現 $\pi$ の L-関数 $L(\pi,s)$ の特殊値と関連づける公式を得た。 その公式には，L-関数の特殊値の他に， $\GL_d$ の極大分裂トーラスの正規化群上 での $\pi$ に属する尖点形式 f の 積分 P(f) が現れるが， F が有理関数体かつ f が 2 つの素点で とある分岐の条件をみたす場合に，P(f) もまた 関数 $L(\pi,s)$ の特殊値を用いて表示されることが わかった。 Werner による Bruhat-Tits building のコンパクト化を 用いて Bruhat-Tits building の 数論的商の上の modular symbol の理論を構成し，これを利用して， 上で構成した $\kappa_{I,J}$ および それと類似の方法で構成される元で生成される Drinfeld モジュラー多様体の d-次 Milnor K-群の部分群が十分大きい ことを示した。
また論文 [11] およびそれにつづく投稿中の論文で， d=2 の場合の前段落の結果を 応用することによって， 関数体 F 上の楕円曲線 E の各次数のモチヴィックコホモロジー群 H に対して 次の結果を得た: H をその最大可除部分群で割った群 を H'，F の素点 v に対し E の v での還元の 適当な次数のモチヴィックコホモロジー群を $H_v$ とすると， H' から $\bigoplus_v H_v$ への境界写像 $\partial$ が 考えられるが，この境界写像 $\partial$ の 核および余核の階数およびトージョンの位数を 完全に決定し，E の L-関数の特殊値と関係付けた。 この決定のため，Morel-Voevodsky の $\A^1$ ホモトピー 論を用いて定義されるモチヴィックコホモロジー群の性質と， 従来の，例えば higher Chow 群や Voevodsky によるモチーフの 導来圏を用いて定義されるモチヴィックコホモロジー群の性質の 間の整合性をいくつか確立した。 そのひとつが論文 [10] で ある。
上述のものの他に，近藤智氏との共同研究がきっかけとなって 得られた楕円曲線の低次のモチヴィックコホモロジーの安定性 に関する結果，有限体上の代数曲線上の $\ell$ 進層の コホモロジーへのフロベニウス作用の半単純性と L関数の 特殊値との関係に関する結果などについて，論文を準備中である。
近年 Taylor-Wiles によって基礎が確立された patching の議論によって， Langlands 対応の一部をなす Galois 表現の保型性がすこしづつ証明され， 大きな応用が得られている。 当該研究者は最近，整係数 p進表現 を詳細に調べることによって，Galois 表現の保型性に関する結果を 改良することに取り組んでいる。
- Euler systems in Shimura curves and finiteness of Sha associated to modular forms, preprint (1998).
- On a twisted version of conductor-discriminant formula, preprint (2002).
- (with S. Kondo), Euler systems on Drinfeld modular varieties and Zeta values, preprint RIMS-1499 (2005).
- Local $\ep_0$-characters in torsion rings, Jounral de Théorie des Nombres de Bordeaux 19, 763--797 (2007).
- (with M. Asaeda), On Haagerup's list of potential principal Graphs of subfactors, Comm. Math. Phys. 286, No.3, 1141-1157 (2009).
- Local constants in torsion rings, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 16, No.2, 125--197 (2009).
- The product formula for local constants in torsion rings, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 16, No.2, 199--230 (2009).
- (with H. Nakamura, H. Tsunogai), Harmonic and equiharmonic equations in the Grothendieck-Teichmüller group. III, Journal of the Inst. of Math. Jussieu 9, issue 2, 431--448 (2010).
- Non-negativity of the Fourier coefficients of eta products associated to regular systems of weights, Publ. RIMS, Kyoto Univ 46, Issue 3, 549--563 (2010).
- (with S. Kondo), Product structures in motivic cohomology and higher Chow groups, Journal of Pure and Applied Algebra 215, Issue 4, 511-522 (2011).
- (with S. Kondo) On the second rational K-group of an elliptic curve over global fields of positive characteristic, preprint, to appear in Proc. London Math. Soc.