所員 -安田 正大-

名前 安田 正大 (Yasuda, Seidai)
助教
E-Mail yasuda (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 整数論・数論幾何学の研究
紹 介
 代数体上の代数多様体の Hasse-Weil L-関数の研究は,数論的多様体の研究において, 重要かつ中心的な課題である。 Hasse-Weil L-関数の整数値に関して, Bloch-加藤予想と呼ばれる予想がある。 これは,多様体の代数的 K-群 からの regulator 写像を用いて Hasse-Weil L-関数 の特殊値を記述する Beilinson による予想 を精密化するものである。 この Bloch-加藤予想における,係数環 の一般化および非可換化に関して,ここ数年の間に 重要な進展が見られつつある。
 当該研究者は,l-進および p-進エタール層 に関する分岐の理論,およびモチーフと保型形式の 間の Langlands 対応,という 2 つの分野を 視野に入れながら,上記の予想について研究を行っている。
 分岐の理論との関連という視点からは, 代数体上の代数多様体の多様体の還元の悪さを うまく取り扱う手法の 開発をすることが必要となってくる。 そのため,各素数 p に対し, p-進局所体上の代数多様体に関する還元の悪さを, L-関数,および特性類と結びつくような形で 捕らえることのできる,局所体上の多様体の l-進エタールコホモロジー群 V に対する導手およびその精密化である $\vep$-因子について, より深い考察を加えることが重要である。 多様体の還元の悪さをうまくとり扱う ことが重要である。 Bloch-加藤予想は, V-の $\vep$-因子を,V の $\Z_l$-lattice のガロア・コホモロジーを 考えることによって, 完全に解析できることを示唆している。 Perrin-Riou,加藤, Burns-Greither,Huber-Kings, Coates-深谷-加藤-Sujatha-Venjakob によって一般化された結果, いかなる(可換とも限らない) pro-l 環を係数とする, 局所体のいかなるガロア表現 T に対しても, pro-l $\vep$-因子の理論が存在し, T のガロア・コホモロジーを用いて 記述されることが予想されている。 当該研究者は,今までの研究で l が p と異なる場合に,そのような理論の構成を行った ([4],[6],[7])。 さらに [6] で得られた結果を, 加法指標の値域を係数環と分離する方法を用いて, p が加逆となる,一般の可換 noether 環あるいは 一般の非可換副有限環を係数環とする 表現に対して拡張した(論文準備中)。
 加藤和也氏により構成されている p-進 $\varepsilon$-元の $(\varphi,\Gamma)$-加群の視点からの 見直しを行った結果,rank 1 の表現に対する加藤氏の p-進 $\epsilon$-元は,一見 Coleman 巾級数を用いた, 技巧的な方法を用いて構成されているように見えるが, $(\varphi,\Gamma)$-加群の立場から見ると,p-進 $\epsilon$-元は,固定した 1 の p-巾根の system $\epsilon = (\zeta_{p^n})$ から作られる元 $[\epsilon]\in\A$ に $1\in \Q_p$ を送ることにより 得られるアーベル群の準同型 $\Q_p \to \A^{\times}$ を, 通常の加法指標の類似と思い, Tate による $\varepsilon$-因子の構成と 同様の構成を実施して構成したものである, という自然な見方ができることがわかった。 現在,p 進局所 Langlands 対応との関連から, この見方をさらに推し進める研究を進めている。
 また,近藤智氏との共同研究を行い, Beilinson 予想の正標数類似の追求をしている。 標数 p 関数体上の代数多様体の Hasse-Weil L-関数は, 本質的に有理数係数の有理関数であり,しかも 有限体上の多様体の合同ゼータ関数によって記述 されてしまうため,Beilinson 予想および Bloch-加藤予想の p と素な部分は, 代数体上の場合ほど面白い予想とならない。 しかし,K-群の元の regulator 写像と, Hasse-Weil L-関数の特殊値との関係をより 精密に予想するような,関数体の場合でも 価値のある予想が定式化できるのではないか という信念のもとに研究を行っている。
 この共同研究によって得られた成果の中で重要なもの([3]) について以下に簡潔に述べる。 素点をひとつ固定した正標数の大域体F 上の,適当なレベル構造つきの階数 $d\ge 1$ の Drinfeld モジュラー多様体の d-次 Milnor K-群の元 $\kappa_{I,J}$ (I,J はレベル 構造のパラメータ)を構成し,それらが K-群のノルム写像と Hecke 作用素に関して,Euler 系と呼ぶべき 関係を満たすことを証明した。 この結果は 技術的な仮定のもと,本質的に近藤氏が得ていた ものであるが,今回の共同研究により見通しのよい 別証明が得られた結果,技術的な仮定が不要となった。 さらに $\infty$ における境界写像 (これは Beilinson regulator 写像の関数体類似とみなせる) による $\kappa_{I,J}$ の像を計算し,Rankin-Selberg の方法を多重化することにより,それを F 上の $\GL_d$ に関する尖点的保型表現 $\pi$ の L-関数 $L(\pi,s)$ の特殊値と関連づける公式を得た。 その公式には,L-関数の特殊値の他に, $\GL_d$ の極大分裂トーラスの正規化群上 での $\pi$ に属する尖点形式 f の 積分 P(f) が現れるが, F が有理関数体かつ f が 2 つの素点で とある分岐の条件をみたす場合に,P(f) もまた 関数 $L(\pi,s)$ の特殊値を用いて表示されることが わかった。 Werner による Bruhat-Tits building のコンパクト化を 用いて Bruhat-Tits building の 数論的商の上の modular symbol の理論を構成し,これを利用して, 上で構成した $\kappa_{I,J}$ および それと類似の方法で構成される元で生成される Drinfeld モジュラー多様体の d-次 Milnor K-群の部分群が十分大きい ことを示した。
 また論文 [11] およびそれにつづく投稿中の論文で, d=2 の場合の前段落の結果を 応用することによって, 関数体 F 上の楕円曲線 E の各次数のモチヴィックコホモロジー群 H に対して 次の結果を得た: H をその最大可除部分群で割った群 を H',F の素点 v に対し E の v での還元の 適当な次数のモチヴィックコホモロジー群を $H_v$ とすると, H' から $\bigoplus_v H_v$ への境界写像 $\partial$ が 考えられるが,この境界写像 $\partial$ の 核および余核の階数およびトージョンの位数を 完全に決定し,E の L-関数の特殊値と関係付けた。 この決定のため,Morel-Voevodsky の $\A^1$ ホモトピー 論を用いて定義されるモチヴィックコホモロジー群の性質と, 従来の,例えば higher Chow 群や Voevodsky によるモチーフの 導来圏を用いて定義されるモチヴィックコホモロジー群の性質の 間の整合性をいくつか確立した。 そのひとつが論文 [10] で ある。
 上述のものの他に,近藤智氏との共同研究がきっかけとなって 得られた楕円曲線の低次のモチヴィックコホモロジーの安定性 に関する結果,有限体上の代数曲線上の $\ell$ 進層の コホモロジーへのフロベニウス作用の半単純性と L関数の 特殊値との関係に関する結果などについて,論文を準備中である。
 近年 Taylor-Wiles によって基礎が確立された patching の議論によって, Langlands 対応の一部をなす Galois 表現の保型性がすこしづつ証明され, 大きな応用が得られている。 当該研究者は最近,整係数 p進表現 を詳細に調べることによって,Galois 表現の保型性に関する結果を 改良することに取り組んでいる。
  1. Euler systems in Shimura curves and finiteness of Sha associated to modular forms, preprint (1998).
  2. On a twisted version of conductor-discriminant formula, preprint (2002).
  3. (with S. Kondo), Euler systems on Drinfeld modular varieties and Zeta values, preprint RIMS-1499 (2005).
  4. Local $\ep_0$-characters in torsion rings, Jounral de Théorie des Nombres de Bordeaux 19, 763--797 (2007).
  5. (with M. Asaeda), On Haagerup's list of potential principal Graphs of subfactors, Comm. Math. Phys. 286, No.3, 1141-1157 (2009).
  6. Local constants in torsion rings, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 16, No.2, 125--197 (2009).
  7. The product formula for local constants in torsion rings, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 16, No.2, 199--230 (2009).
  8. (with H. Nakamura, H. Tsunogai), Harmonic and equiharmonic equations in the Grothendieck-Teichmüller group. III, Journal of the Inst. of Math. Jussieu 9, issue 2, 431--448 (2010).
  9. Non-negativity of the Fourier coefficients of eta products associated to regular systems of weights, Publ. RIMS, Kyoto Univ 46, Issue 3, 549--563 (2010).
  10. (with S. Kondo), Product structures in motivic cohomology and higher Chow groups, Journal of Pure and Applied Algebra 215, Issue 4, 511-522 (2011).
  11. (with S. Kondo) On the second rational K-group of an elliptic curve over global fields of positive characteristic, preprint, to appear in Proc. London Math. Soc.