柏原 正樹
柏原の研究は,量子群の研究,
D-加群の研究,表現論の研究と分けられる。
量子群の研究
量子群は,統計力学における可解格子模型の研究から,
Drinfeld-Jimboが導入したHopf代数であるが,これは新しい
対称性を記述する道具として大きく発展した。
柏原は,絶対温度零度における考察から結晶基底の概念を導入した。
これは,表現論と組み合わせ論をつなぐ鍵となっている。
[1],[7],[10],[15],[16],[17]は,これに関連した研究である。
特に,[1]はスーパー量子群U_q(\mathfrak{gl}(m,n))
のあるカテゴリーの表現が結晶基底をもち,
通常のU_q(\mathfrak{gl}(n))におけるヤング盤の一般化で
結晶基底がパラメトライズできることをしめした。
[16]では,BorcherdsによりMoonshine解決の目的で導入
された一般化されたKac-Moodyリー環の最高重み表現
が結晶基底を持つことをしめした。
D-加群の研究
D-加群は,柏原が修士の頃から研究してきた対象である。
柏原は,P. Schapiraとともに,D-加群の特性多様体にあたる概念
を多様体の任意の層に対して導入した(層の「特性台」)。
[11],[12]において,この概念を拡張し,
ある階数までの特性台の考えを導入し,その性質をしらべた。
[14]は,ホロノミックD-加群の導来圏と
構成的層の導来圏の対応(Riemann-Hilbert対応)に
おいて,構成的層の導来圏の通常のt-構造に対応する
ホロノミックD-加群の導来圏のt-構造を研究し,
これが,平坦性と結びついていることをしめした。
表現論の研究
実リー群の表現は旗多様体とその上のD-加群を通じて,
幾何学と結び付いている。
[6]は,表現の複素共役にあたる操作に対応する
D-加群の操作が何になるかを調べた。
これは表現のユニタリ性と深く結び付くと思われるが,
いまだこの方向での緒に達していない。
[4]は,アフィンリー環のKazhdan-Lusztig予想の
レヴェルが負有理数の場合に証明したものである。
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