紹 介

原始形式を大域的に構成し，その周期積分により定まる周期写像及びその逆写像の座標成分としての保型函数（環）， 更にその保型函数環の上に定まる平坦構造を決定するというのが， 私の研究目標である（[1][3][5] 参照）。
しかし，原始形式が明示的にかつ大域的に求まるのは，現在のところすべて代数的に解ける古典的代数群に対応するADE型の場合と， 楕円積分を用いて計算できる楕円型までである。難しさの一つの理由は， 原始形式が（代数的微分方程式等の解として）解析的に決定されているにせよ， それを解くには背後にvanishing cyclesのなす束と， その上に定まるHodge構造等のむしろarithmeticないしcombinatorialな構造がひかえており、それ等を理解する必要があるからである。
そこで立場を逆転させる。まず，arithmetic構造をあつかう様なweight系の理論([2][3])や組み合せ論的構造をあつかう一般化されたルート系の理論([1][4][6][7])等を先に構築し， 次にそれ等の材料を元にして，無限次元リー環やvertex代数の様に``可積分系”([4])を構築し， その枠組の中で原始形式を大域的に構成しようというのが現在の方針である。
このプログラムは楕円型の場合かなり実行されているが([4][6][7])未だ原始形式を構成するまではいたっていない。 これ等楕円リー環のキャラクターと平坦構造との関係， $L$-函数とvertex代数の高次剰余理論の構築，等解明すべき課題は多い。 現在楕円リー群による付随商写像の構成が進行中である。 関連するエータ関数の研究も行っている([6][11][12])。
楕円型を含む更に一般的な場合については、現在高橋篤史、梶浦宏成等と、 カテゴリカルな方法（或る種の微分環の表現論を用いる）によるアプローチが現在進行しており、 古典的な場合には有効である事が分りつつある([8])。
一方，古典的なADE型の場合でも周期写像を解析的に記述して逆写像を決定するのは長期的な大問題である。 現在位相の研究([9][10])を始めている。

[1] Uniformization of the orbifold of a finite reflection group, Proceedings of a conference on singularity and Frobenius manifolds, 2002 Bonn.
[2] Duality for Regular Systems of Weights: A Precis, Proceedings of 38th Taniguchi Symposium on Topological Field Theory, Primitive Forms, and Related Topics, Dec. 1996, Birkhauser (1998).
[3] Around the Theory of the Generalized Weight Systems: Relations with Singularity Theory, the Generalized Weyl Group and Its Invariant Theory, Etc., Amer. Math. Soc. Transl. (2), 183 (1998), 101-143.
[4] Extended Affine Root System IV (Elliptic Lie Algebras), Publ. RIMS, Kyoto Univ., 36 (2000), 385-421. (with D. Yoshii)
[5] Primitive automorphic forms, Mathematics Unlimited-2001 and beyond, Springer Verlag, (2001) pp.1003-1018.
[6] Extended Affine Root Systems V (Elliptic eta-products and Elliptic $L$-functions), RIMS Preprint 1210 (June 1998).
[7] Extended Affine Root Systems VI (Highest weight representation), in preparation.
[8] Matrix Factorizations and Representations of Quivers II: Type ADE Case, RIMS Preprint 1521 (Nov. 2005), Joint work with H. Kajiura and A. Takahashi, submitted.
[9] Polyhedra dual to the Weyl chamber decomposition: A pr\'ecis, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 40 (2004), 1337-1384.
[10] Principal $\Gamma$-cones for a tree $\Gamma$, RIMS Preprint 1507 (June 2005), submitted.
[11] Eta-Product $\eta(7 \tau)^{7}/ \eta(\tau)$, RIMS Preprint 1532 (Feb. 2006).
[12] Eta-Product $\eta_{\Phi}(\tau)$, in preparation.