そもそも対称性とはなんでしょうか？

「球面が丸い」とか「直線はまっすぐである」など，漠然と認識していることをどう したら数学的にきちんと説明できるでしょうか？　

こういった対称性を理解する一つの方法は「動かしてみる」ことです。 「球を回転させる」とか「直線を平行移動する」ことによって、球面や直線の対称性 を理解するわけです．

動かしているのに不動である，あるいは，動いているつもりでもお釈迦様の手のひら を駆け回る孫悟空のように外に飛び出ない，といった性質に着目することによって

タイル張りなどに見られる離散的な対称性（不連続群），
曲がった空間における連続な対称性（リー群），
無限次元の空間における対称性（表現論・調和解析）

などさまざまな対称性を数学的にとらえることができます。

この考え方をおしすすめると「群による作用」という概念になります．これは，「動 かす⇔対称性」を理解する鍵であり， 現代数学や数理物理において欠かすことのできない基礎概念になっています．

この講義では，数学における抽象的な対称性の雰囲気を伝え，時間があればこの分野 の未解決問題にも触れたいと思います．

参考書：
小林俊行・大島利雄著 『リー群と表現論』　岩波書店　２００５

Enguist-Schmid編『数学の最先端・２１世紀への挑戦』第１巻 （邦訳）
小林俊行 「非リーマン等質空間の不連続群論」　シュプリンガー２００２