この既約性定理は、有理数体を実数体や複素数体に とりかえると成立しません。また、有限体やp進体に とりかえてもやはり成立しません。基底定理、零点定理、 定理９０など、ヒルベルトの名が残る定理はいくつも ありますが、その中で、既約性定理は数論的かつ大域的な 定理ということができ、実際、現代の整数論、数論幾何の 研究にもしばしば登場します。

この講義では、既約性定理のさまざまな定式化や証明の概略を 述べた後、その応用として、数論の古典的な未解決問題である ガロアの逆問題への一つの標準的なアプローチを紹介します。 また、講義全体を通じて、群・環・体などの代数学の基本的 対象に親しんでもらえるようにしたいと思っています。