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全学共通科目講義(1回生~4回生対象)

 

現代の数学と数理解析
―― 基礎概念とその諸科学への広がり
授業のテーマと目的:
数学が発展してきた過程では、自然科学、 社会科学などの種々の学問分野で提起される問題を解決するために、 既存の数学の枠組みにとらわれない、 新しい数理科学的な方法や理論が導入されてきた。 また、逆に、そのような新しい流れが、 数学の核心的な理論へと発展した例も数知れず存在する。 このような数学と数理解析の展開の諸相について、第一線の研究者が、 自身の研究を踏まえた入門的・解説的な講義を行う。

数学・数理解析の研究の面白さ・深さを、 感性豊かな学生諸君に味わってもらうことを意図して講義し、 原則として予備知識は仮定しない。

第13回
日時: 2015年7月17日(金)
16:30-18:00
場所: 数理解析研究所 420号室
講師: 玉川 安騎男 教授
題目: 連分数と2次体の数論
要約:
任意の実数が(有限または無限の)小数に展開できることや、実数の小数展開が循環小数または有限小数になることとその実数が有理数になることが同値であることなどを、中学や高校で学習された方も多いと思います。

連分数とは、分母の中に分数が含まれ、その分数の分母の中に更に分数が含まれ、...というように、分数が次々と連なったもので、特に、分子が全て1のもの(正則連分数)が基本的です。

この講義の前半では、連分数の基本的な性質について解説します。任意の実数が(有限または無限の)正則連分数に展開できることや、実数の連分数展開が有限連分数になることとその実数が有理数になることが同値であることなどを説明します。

それでは、実数の連分数展開が循環連分数となるのはどういうときでしょうか?この講義の後半では、この問題を含め、連分数と2次体の数論との関係について解説します。

前々回の星先生の講義に出席された方は、この講義の後半で、2次体の数論の復習や新しい側面の学習ができることと思います。(但し、星先生の講義に出席していなくても、この講義を理解するのには支障ありません。)

参考文献:

  • 木村俊一「連分数のふしぎ 無理数の発見から超越数まで」講談社
  • 高木貞治「初等整数論講義」共立出版
  • 小野孝「数論序説」裳華房


"http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/special-02.html"

 

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