数学入門公開講座
2011年8月1日-8月4日（第33回） 演題及び講師
マルコフ連鎖と混合時間 ーカード・シャッフルの数理ー 教授・熊谷 隆
トランプをするとき、ゲームの前にカードがしっかり混ざるようにカードを切り（シャッフルし）ますが、何回くらい切ればカードがよく混ざってくれるでしょうか？この問題は、一般にマルコフ連鎖が定常分布に近づくのにかかる時間（混合時間）を調べる問題として設定することができます。このような定式化の下、トランプを大体７回切ればよく、しかも７回前後で急に「よく混ざった」状態になることが、今から２０年ほど前にP. Diaconis教授らによって証明されました。
この講義では、カード・シャッフルなどの具体例を念頭に置きながら、マルコフ連鎖とその混合時間について解説します。「急によく混ざった状態になる」という現象（cut-off現象）についても定式化し、具体例を通じてどのようなときにこの現象が起こるかについても触れたいと思います。
方程式を理解するための一つの指針は、与えられた方程式を簡単なものに変換することでした。 例えば、連立一次方程式は行列に関するなじみ深い操作で簡単な形のものに変形することによって理解できました。
この講座で興味を持つ題材は、複素領域上の「可積分な線形微分方程式系」です。特に方程式の特異点のまわりにおける性質、いわゆる局所的性質に興味を持ちます。より粗い言い方をすると、特異点のまわりでどのぐらい簡単な形に変換できるか、が問題です。一変数の場合には、福原満洲雄を含む先人達による古典的な研究があり、確定特異点という比較的易しい特異点の場合にはモノドロミーによって分類されること、より難しい不確定特異点の場合にはモノドロミーとストークス構造によって分類されること、などが知られていました。多変数の場合にどうかを問うのは自然です。確定特異点の場合には一変数の場合とほぼ同様であることが以前から知られていました。一方、多変数の場合の不確定特異点の研究は最近になって進展があり、代数幾何におけるブローアップとよばれる操作を組み合わせることで、比較的簡単な形に変換できることが示されました。この講座では、一変数の古典的な話の復習から始めて、最近の発展までを概説したいと考えています。
爆発と呼ばれる操作を繰り返すことにより代数多様体を非特異なものに取り替えることを特異点解消といいます。廣中平祐先生は1960年代に標数０の場合に特異点解消がいつでも可能であることを証明し、フィールズ賞を受賞されました。今や特異点解消は標数０の代数幾何学において基本的かつ必要不可欠な道具となっています。
廣中先生の証明は「廣中の電話帳」と呼ばれ長大さと難解さで夙に有名でしたが、近年の研究により大幅に簡易化されました。本講義では、超曲面の場合について特異点解消の証明を紹介します。時間が許せば正標数の場合の最近の進展についても簡単に紹介します。
（講義ノート）