冪零軌道の幾何と表現論
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これらの概念は対称空間に対しても拡張されており、例えば、
冪零軌道は この講演では、冪零軌道の幾何と表現論との関わりあいについて、自分の研究(や共同研究)をもとにその一側面をお話ししたい。 だいたい以下のような内容を講演する。
以下各項目について大まかに説明する。(講演では時間の制約から以下の内容をすべて話せないかも知れないが、その節はご容赦願いたい。) Weil 表現と極小冪零軌道、theta 対応Weil 表現はシンプレクティック群の極小表現である。 この表現の構成等を復習した後、極小冪零軌道との関わり、一般の極小表現への拡張について概観する。 さらに dual pair を用いて表現論的に定式化された theta 対応についても簡単に述べる。theta 対応は、特殊な場合には 柏原-Vergne を始め多数の研究があるが、一般的には R. Howe によって導入された概念であり、 保型形式の theta 積分を用いた lifting の理論を表現論的に定式化したものである。 Harish-Chandra 加群と随伴サイクルHarish-Chandra に始まる半単純リー群のユニタリ表現の代数的な理論は 1970 年代以降急速に発展した。 その原動力の一つとなったのは Vogan による一連の Harish-Chandra 加群 (HC 加群) の研究であろう。ここでは Vogan にしたがって HC 加群から、表現の不変量として、随伴サイクルと呼ばれる冪零軌道の形式和を構成する方法を紹介する。 また、例として特異最高ウェイト表現の随伴サイクルが theta 対応を用いてどのように計算できるのか(落合啓之(名大)、谷口健二(青学大)との共同研究)、 とか、山下博(北大)による等方表現との関連づけや一般化された Whittaker モデルとの関連についても紹介する。 冪零軌道の持ち上げ (lifting) と不変式論シンプレクティック群![]() ![]() ![]()
これらのモーメント写像を用いて、 theta 対応と随伴サイクルdual pair![]()
この予想に対して、 以上の結果を、証明の着想点を中心に紹介する。 |
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