In this talk, an introduction to this approach is given and basic results as well as recent developments are explained. After a brief review of the concepts of local quantum physics and elements of Tomita-Takesaki theory, the principle of geometric modular action is applied to theories on maximally symmetric space-time manifolds and its rich consequences are outlined. By making use of a novel method of algebraic transplantation of theories from one space-time onto another, the principle will also be shown to be at work in a large class of Robertson-Walker spacetimes.

I will explore the geometric relationship between mirror pairs of Calabi-Yau manifolds, by way of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture, which proposed that mirror symmetry could be explained by the existence of dual torus fibrations on mirror pairs of Calabi-Yau manifolds, with fibres having special properties, including volume minimizing properties. I will discuss progress on this conjecture in the past few years, and in particular illustrate how the conjecture works on a purely topological level by showing it explains mirror symmetry in the most famous example, the quintic threefold in projective four-space and its mirror.

本研究では、XMLデータ処理に特化した型付きプログラミング言語XDuce（「ト ランスデュース」と読む）の設計・実装を行っている。「型付き」とは、コン パイラに「型検査」と呼ばれる機構が備わっていると言うことである。型検査 は、与えられたプログラムを解析し、「このプログラムを実行して得られた出 力データはある制約条件を常に満たす」と言うこと（型安全性という）を保証 する。型検査は、古くからある機構であり、C言語やJava言語などの普通のプ ログラミング言語にも備わっている。しかし、本研究においては、XML のスキー マをデータ型と見なす。XML のスキーマには子ノード列の制約条件を記述する ために正規表現が用いられるが、これを型システムに導入するという点が、従 来の型検査と異なる。さらにこうしてできた型システムが型安全性を持つこと を数学的に証明し、この型システムを組み込んだXDuce言語を設計した。

この型システムの設計には、スキーマの正規性を多用している。正規性とは、 スキーマがツリーオートマトン（ツリーを受理する有限状態機械）と等価とい うことである。これによって、２つのスキーマの和、積、もしくは差を表すス キーマを計算することが可能であるということや、包含関係を判定することも 可能であることがわかる。特に、本型システムにおける部分型は包含関係であ ると定義され、ユーザに高い柔軟性を提供するために重要である。一方、包含 関係の判定は指数時間完全という高い計算量を持つことがわかっている。その ため本研究では、実際の入力に対しては実用的速度で動作する「トップダウン」 なアルゴリズムを開発した。