Title

ノヴィコフ環上のホモロジー的ミラー対称性について

Date

2022年1月26日（水）　16:45〜17:45

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Speaker

深谷 賢治 (Kenji Fukaya)氏 （ニューヨーク州立大学 ストーニーブルック校）

Abstract

　ラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーはノヴィコフ環（形式的冪級数環’の一種）上で定義される．ホモロジー的ミラー対称性では，シンプレクティック側ではラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーが主要な役割を果たすが，現時点の研究では，ノヴィコフ環の商体であるはノヴィコフ体上のフレアーホモロジーが考察されることが多い．この講演では，ノヴィコフ環上でホモロジー的ミラー対称性を考えるとき現れる現象のいくつかを説明したい．ノヴィコフ環，ノヴィコフ体，ground ring（有理数体）の３者の関係は，p-進整数環，p-進数体，有限体の３者の関係と類似であり，混標数の代数幾何学とのアナロジーがあると考えられる．また，ノヴィコフ環上のフレアーホモロジーはノヴィコフ体上のものに比べて，ハミルトン力学系に関わる情報を多く持っていることが知られている．

Title

p-進シンプレクティック群におけるArthur型の表現の決定
(Determination of Arthur type representations of p-adic symplectic groups)

Date

2022年1月12日（水）　16:45〜17:45 　

Place

京都大学数理解析研究所 (RIMS) 111号室
(Rm111, Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University)

Speaker

跡部 発 (Hiraku Atobe)氏 （北大・理）

Abstract

　保型形式や保型表現は現代の整数論において重要な役割を果たしている。保型表現の局所成分として、p-進簡約群の既約表現が現れるが、全ての既約表現が保型表現の局所成分として実現できるわけではない。特に、二乗可積分保型表現の局所成分として実現できる既約表現はArthur型と呼ばれ、それらはユニタリ双対問題でも中心的な役割を果たすと考えられている。本講演では、p-進シンプレクティック群の既約表現が与えられた時に、それがArthur型であるかどうかを判定するアルゴリズムについて紹介する。

Title

導来Hall代数の幾何学的構成
(Geometric construction of derived Hall algebra)

Date

2021年12月22日（水）　16:45〜17:45

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柳田 伸太郎 (Shintaro Yanagida)氏 （名大・多元数理）

Abstract

　導来Hall代数とはToenが2006年に導入した、Ringel-Hall代数の「複体版」です。Ringel-Hall代数についてはLusztig構成と呼ばれる幾何学的構成が知られていますが、その導来Hall代数での類似として、導来スタック上の構成可能層の導来無限圏と導来函手の理論を作ることができます。そして導来Hall代数を導来代数幾何学的に構成することができます。今回はこの理論の概略をお話しします。内容はプレプリント "Geometric derived Hall algebra" (arXiv:1912.05442) に基づきます。
　Ringel-Hall代数はある種の有限性を満たすAbel圏にいて定義されるもので、その幾何学的構成は対象（例えば箙の表現）のモジュライ空間上の構成可能層の導来圏と導来函手を用いてなされます。この場合、モジュライ空間は代数スタックで実現できていて、導来圏の理論もLaszlo-Olssonによって通常の代数幾何の範疇で整備されています。
　導来Hall代数の場合は複体のモジュライ空間を考える必要があって、そこで導来代数幾何学が必要になります。複体のモジュライ空間はToen-VezzosiやToen-Vaquieの仕事により幾何学的導来スタックで実現できることが分かっているので、その上の構成可能層の導来圏と導来函手を導入すれば良いです。そこで、前に触れた、Laszlo-Olssonによる代数スタック上の構成可能層の理論を上手く導来してあげる、というのがこの話の主旨です。

Title

4次元軌道体上のゲージ理論とその応用
(Gauge theory on four-orbifolds and its applications)

Date

2021年12月15日（水）　16:45〜17:45

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福本 善洋 (Yoshihiro Fukumoto)氏 （立命館大・理工）

Abstract

　1980年代にR. FintushelとR. SternはDonaldson理論を4次元軌道体上で展開することで、あるホモロジー3球面が滑らかなホモロジー4球体の境界となるための障碍を与えた。これは、滑らかな4次元閉多様体の負定値交叉形式に関するDonaldsonの対角化定理が軌道体に対してはそのままで成立しないことに依拠する。また4次元軌道体上ではインスタントン数を小さな有理数で与えてバブルの発生を特異点上に局限させることもできる。これと並行した設定をSeiberg-Witten理論において考察すると、バブル現象が存在しないため、これに対処する議論を必要とすることなくほぼ等価な結果が得られる。また扱う対象によって、Donaldson理論で直接的に捉えられるがSeiberg-Witten理論からはそうでないものや、その逆の場合も存在する。本講演では双方の理論のこのような側面に注目して、4次元軌道体上のゲージ理論の以下の応用例について述べたい。
1) Fintushel-Stern不変量とそのSeiberg-Witten理論による類似
2) ある負定値4次元軌道体上の平坦接続の存在（Donaldson理論）
3) 4次元スピン軌道体上の10/8不等式とその応用（Seiberg-Witten理論）

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極小モデル理論の発展
(Recent development of the minimal model theory)

Date

2021年12月8日（水）　16:45〜17:45

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權業 善範 (Yoshinori Gongyo)氏 （東大・数理）

Abstract

　70年代から80年代に発展し、枠組みが見えてきた代数多様体の双有理分類論の要となる極小モデル理論は2000年代後半から2010年代前半にBirkar–Cascini–Hacon–Mckernanによる標準環の有限性生成及びフリップの存在が証明されることにより、高次元化へのアプローチの骨組みが浮き彫りになった。そこでのアプローチはBasePoinrFreenes型の定理を組み込むことにより、次元による数学的帰納法が回る。さて現代の目下の目標はBirkar–Cascini–Hacon–Mckernanでは、カバーされていなかった部分がどのように解決されるかだが、ここではやはりBirkar–Cascini–Hacon–Mckernanのストーリーに沿うか、又はその以前からのアプローチのShokurov–AmbroによるMinimal log discrepancyの予想からアプローチをするかである。このあたりの進展についてお話ししたいと思う。

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遠アーベル幾何学の観点からのGrothendieck-Teichmuller群GTの研究
(A study of the Grothendieck-Teichmuller group from the viewpoint of anabelian geometry)

Date

2021年12月1日（水）　16:45〜17:45

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辻村 昇太 (Shota Tsujimura)氏 （京大・数理研）

Abstract

　組み合わせ論的遠アーベル幾何学の観点からのGrothendieck-Teichmuller群GTの研究の最近の進展に関する講演を行う。特に、(数論的な対象である)有理数体の絶対Galois群と(組み合わせ論的な対象である)GTの比較という古くから研究されてきた問題に対する応用を説明する。

Title

スターグラフ上のパルスダイナミクスについて
(Pulse dynamics on a star graph region)

Date

2021年11月10日（水）　16:45〜17:45

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栄 伸一郎 (Shin-ichiro Ei)氏 （北大・理）

Abstract

　接合点においてキルヒホッフ境界条件を課された半直線からなる星形領域を考え, その上で反応拡散型モデルに現れるパルス状局在解の様々な運動を考察する．講演では, パルスと接合点の相互作用がパルス同士の相互作用により決定することを明らかにする．結果として反発的な相互作用をもっているパルスは接合点に吸引されることなどを示す．また星形領域状に複数のパルスが存在する場合の運動についても考察する．

Title

整p進コホモロジー理論について
(On integral p-adic cohomology theory)

Date

2021年10月27日（水）　16:45〜17:45

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志甫 淳 (Atsushi Shiho)氏 （東大・数理）

Abstract

　正標数pの完全体k上の代数多様体が固有かつ滑らかなときはクリスタリンコホモロジーが有限生成W加群(WはkのWitt環)となり良いp進コホモロジー理論を与えるが，代数多様体が固有や滑らかでないときは，それは有限生成W加群であるとは限らない．一方，リジッドコホモロジーはk上の任意の代数多様体に対して常に有限次元K線型空間(KはWの商体)となる良いp進コホモロジー理論であるが，有限生成なW加群構造(整構造)を定義するものではない．
本講演では，k上の固有や滑らかであるとは限らない代数多様体に対して対数的クリスタリンコホモロジーおよびリジッドコホモロジーと整合的な整p進コホモロジー理論を定義するためのいくつかのアプローチについて紹介する．これはVeronika Ertl氏，Johannes Sprang氏との共同研究である．

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パラ制御解析と正則性構造理論について
(Paracontrolled calculus and regularity structures)

Date

2021年10月20日（水）　16:45〜17:45

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星野 壮登 (Masato Hoshino)氏 （阪大・基礎工学）

Abstract

　特異確率偏微分方程式の研究はここ数年，Hairerの正則性構造理論と，Gubinelli, Imkeller, Perkowskiのパラ制御解析という2つの画期的な理論によって著しく発展している．この講演では，これらの理論における幾つかの概念の同値性を，少し制限的ではあるが応用上は問題のない仮定の下で示す．これらの仮定は，Bruned, Hairer, Zambottiによって導入された，広いクラスの特異確率偏微分方程式に応用可能な正則性構造の下では自然に満たされている．
この講演内容は，Ismaël Bailleul氏（レンヌ第１大学）との共同研究に基づく．

Title

フラクタル上のラプラシアンに対する解析学
(Analysis of Laplacians on fractals)

Date

2021年10月13日（水）　16:45〜17:45

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梶野 直孝 (Naotaka Kajino)氏 （京大・数理研）

Abstract

　フラクタル上のラプラシアンに対する解析学は，フラクタルにおける熱や波動といった基本的な物理現象を厳密に記述し解析することを目標とする研究分野である．フラクタル上では通常の偏微分の概念が意味をなさないため，自然な「ラプラシアン」をどのようにして定義するべきか（また何を以て「自然」とするべきか）は極めて非自明な問題となる．これに答えるには個々のフラクタルの幾何学的特性に対する慎重な考察が必要になり，この数年間の講演者の研究により幾分の進展は見られたものの，現在でもごく限られた範疇のフラクタルに対してしか満足できる解答は得られていない．
　本講演の前半では，1980年代後半以来よく研究されてきた古典的な場合であるEuclid自己相似的フラクタル上のラプラシアンについて，その構成法を解説し熱核・固有値の漸近挙動などの基本的な結果を紹介する．続いて本講演の後半では，講演者が2015年から取り組んでいる研究で得られた，Klein群（Riemann球面上の1次分数変換のなす離散群）の作用で不変な円詰込フラクタル（の幾つかの具体例）において「幾何的に自然なラプラシアンが構成できWeyl型固有値漸近挙動が成り立つ」という結果を紹介する．ここで固有値漸近挙動の主要部はフラクタルのHausdorff次元・測度で与えられ，これを以てラプラシアンは「幾何的に自然」と称している．　

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Teichmüller空間上の関数論に向けて
(Towards Function theory on Teichmüller space)

Date

2021年7月14日（水）　16:45〜17:45

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宮地 秀樹 (Hideki Miyachi)氏 （金沢大・理工）

Abstract

　Teichmüller空間は標識付きRiemann面のモジュライ空間であり，自然な複素構造に対して複素Euclid空間内の有界領域として実現される．そのためその上で関数論を展開することは自然な問題である．この講演では，講演者によるTeichmüller空間上で関数論を展開の進行状況について報告する．

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Crystalline mean curvature flow with a volume constraint

Date

2021年7月7日（水）　16:45〜17:45

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Speaker

Norbert Pozar 氏 （金沢大・理工）

Abstract

　In this talk I will discuss new results on the crystalline mean curvature flow with nonlocal forcing given by a volume constraint. We establish existence of solutions for initial data with a certain reflection property given by the symmetries of the Wulff shape, which we show is preserved in the evolution. This talk is based on joint work with Inwon Kim and Dohyun Kwon.

Title

擬準同型の拡張問題について
(On the extension problem of quasimorphisms on groups)

Date

2021年6月30日（水）　16:45〜17:45

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松下 尚弘 (Takahiro Matsushita)氏 （琉球大・理）

Abstract

　本研究は青山学院大学の川崎盛通氏、京都大学の木村満晃氏、名古屋大学の丸山修平氏、東北大学の見村万佐人氏との共同研究である。
　群 G の擬準同型とは、 G 上の実数値関数 f で、 |f(xy) – f(x) – f(y)| の値が有限の値で一様に抑えられるもののことをいう。特に群 G の擬準同型 f で G の元 x と整数 n に対し f(x^n) = n f(x) を満たすものを斉次擬準同型という。（斉次）擬準同型は群 G の二次の有界コホモロジーと密接に関係しており、幾何学的群論において精力的に研究されている。
　N を G の正規部分群とする。 N の斉次擬準同型 f が与えられたとき、 f が G 全体に斉次擬準同型として拡張できるか否かという問題を考える。斉次擬準同型は共役不変であることが知られており、したがってもし f が G 全体に拡張できるならば、 f(gxg^{-1}) = f(x) が G の元 g と N の元 x に対し成立する。この条件を満たす N の斉次擬準同型を、 G-不変であるという。
　一般には G-不変な斉次擬準同型が G 全体に拡張できるとは限らない。しかし G と N によっては G-不変な斉次擬準同型が G 全体に拡張できる場合もある。いかなるとき拡張できるのか、あるいはできないのか、そして拡張できない場合は、拡張できない擬準同型が本質的にどのくらいあるのかについて、先行研究から最近の研究でわかったことを述べる。

Title

デルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動
(Long time behavior of solution to the nonlinear Schrödinger equation with delta potential)

Date

2021年6月23日（水）　16:45〜17:45

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Speaker

瀬片 純市 (Junichi Segata)氏 （九州大・数理）

Abstract

　We summarize recent progress on long time behavior of solution to the one dimensional nonlinear Schrödinger equation with a delta potential. We first consider the case where potential is repulsive and prove the (modified) scattering for small global solutions. Next we mention the case where potential is attractive and establish the asymptotic stability of the family of solitary waves.

Title

可逆多項式のホモロジー的ミラー対称性とガンマ整構造
(Homological mirror symmetry and the gamma integral structures for invertible polynomials)

Date

2021年6月9日（水）　16:45〜17:45

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Speaker

高橋 篤史 (Atsushi Takahashi)氏 （阪大・理）

Abstract

　可逆多項式のホモロジー的ミラー対称性に関する最近の進展（荒牧大輔氏および大谷拓己氏との共同研究）について解説したいと思います．とくに，射影空間の導来圏と鎖型可逆多項式と呼ばれる性質の良い重み付き斉次多項式に付随する極大次数付き行列因子化圏が圏論的には同じクラスに属することを説明したのち，そのガンマ整構造とミラー双対のホモロジー群との同型について述べる予定です．

Title

情報アプローチによるデフォルト伝播モデルとデフォルトリスクのある債券の価格付け
(A default contagion model for pricing defaultable bonds from an information based perspective)

Date

2021年6月2日（水）　16:45〜17:45

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Speaker

中川 秀敏 (Hidetoshi Nakagawa)氏 （一橋大・経営）

Abstract

（東邦大・高田英行氏との共同研究）
　本研究では、Brody-Hughston-Macrina(2010)が単一債務者のデフォルトリスク評価のために提案した「情報アプローチ」に基づくモデルを、複数の債務者向けに拡張し、特に相互依存関係がある２つの企業（債務者）が発行する割引債価格の挙動分析に応用した。具体的には、その拡張モデルの下で、デフォルト時回収率ゼロの割引債の価格過程が満たす確率微分方程式を導出し、相手方の債務者がデフォルトするリスクがどのように当該債務者の債券価格の挙動に影響するかを詳しく考察した。
結果として、割引債の時間トレンド項に含まれる安全利子率に対する超過リターン部分が、当該債務者自身のハザードレートだけでなく、「疑似デフォルト損失率」で調整された相手方のハザードレートにも依存することを明らかにした。また、相手方のデフォルト時の割引債価格のジャンプの程度が、当該債務者と相手方の相関関係の程度にどのように依存しているかも明らかにした。さらに、提案モデルに沿ってデフォルト伝播リスクの影響の程度を数値的に調べるための数値例もいくつか与えた。
参考論文：
　Hidetoshi Nakagawa and Hideyuki Takada, "A default contagion model for pricing defaultable bonds from an information based perspective," FS-2020-E-001,HUB FS Working paper series (submitted)
URL http://www.fs.hub.hit-u.ac.jp/inc/files/staff-research/workingpaper/FS-2020-E-001.pdf

Title

距離空間上のハミルトン・ヤコビ方程式
(Hamilton-Jacobi equations on metric spaces)

Date

2021年4月21日（水）　16:45〜17:45 　

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京都大学数理解析研究所 (RIMS) 420号室
(Rm420, Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University)

Speaker

中安 淳 (Atsushi Nakayasu)氏 （京大・理）

Abstract

　ハミルトン・ヤコビ方程式は解析力学や前線伝播の問題において現れる1階の非線形偏微分方程式であり、応用上の観点から関数空間のような無限次元空間やネットワークのような分枝した空間で考えることは意義がある。
　本講演では空間をさらに一般化して測地的距離空間上のハミルトン・ヤコビ方程式について、従来の粘性解の理論を拡張して解の挙動について解析する手法について紹介したい。
　特に、日本製鉄株式会社の難波時永氏との共同研究で得られた長時間挙動や、福岡大学の柳青氏との共同研究で得られた凸性保存の結果について解説する。